Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79785 / 83200
↖ ↑ ↗
← S 43.580391°
E 39.136047°		 ← 221.25 m → S 43.580391°
E 39.138794°		 →
↑
221.20 m
↓
↑
221.20 m
↓
S 43.582380°
E 39.136047°		 ← 221.25 m →
48 941 m²		 S 43.582380°
E 39.138794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608715057373047 y=0.634769439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608715057373047 × 217)
    floor (0.608715057373047 × 131072)
    floor (79785.5)     		tx = 79785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634769439697266 × 217)
    floor (0.634769439697266 × 131072)
    floor (83200.5)     		ty = 83200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79785 / 83200 ti = "17/79785/83200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79785/83200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79785 ÷ 217
    79785 ÷ 131072     		x = 0.608711242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83200 ÷ 217
    83200 ÷ 131072     		y = 0.634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608711242675781 × 2 - 1) × π
    0.217422485351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.68305288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634765625 × 2 - 1) × π
    -0.26953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846757394888672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68305288} λ = 0.68305288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846757394888672))-π/2
    2×atan(0.428803119246996)-π/2
    2×0.405087508538022-π/2
    0.810175017076043-1.57079632675     		φ = -0.76062131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68305288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.136047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76062131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.580391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79785 KachelY 83200 0.68305288 -0.76062131 39.136047 -43.580391
    Oben rechts KachelX + 1 79786 KachelY 83200 0.68310082 -0.76062131 39.138794 -43.580391
    Unten links KachelX 79785 KachelY + 1 83201 0.68305288 -0.76065603 39.136047 -43.582380
    Unten rechts KachelX + 1 79786 KachelY + 1 83201 0.68310082 -0.76065603 39.138794 -43.582380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76062131--0.76065603) × R
    3.47200000000436e-05 × 6371000     		dl = 221.201120000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76062131--0.76065603) × R
    3.47200000000436e-05 × 6371000     		dr = 221.201120000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68305288-0.68310082) × cos(-0.76062131) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.724407837082572 × 6371000     		do = 221.252799703111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68305288-0.68310082) × cos(-0.76065603) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.724383901661913 × 6371000     		du = 221.245489209544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76062131)-sin(-0.76065603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724407837082572-0.724383901661913)×R²
    abs(0.68310082-0.68305288)×2.3935420658483e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3935420658483e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3935420658483e-05×40589641000000     		ar = 48940.5585576596m²