Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79784 / 83146
↖ ↑ ↗
← S 43.472854°
E 39.133301°		 ← 221.60 m → S 43.472854°
E 39.136047°		 →
↑
221.65 m
↓
↑
221.65 m
↓
S 43.474847°
E 39.133301°		 ← 221.59 m →
49 116 m²		 S 43.474847°
E 39.136047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608707427978516 y=0.634357452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608707427978516 × 217)
    floor (0.608707427978516 × 131072)
    floor (79784.5)     		tx = 79784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634357452392578 × 217)
    floor (0.634357452392578 × 131072)
    floor (83146.5)     		ty = 83146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79784 / 83146 ti = "17/79784/83146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79784/83146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79784 ÷ 217
    79784 ÷ 131072     		x = 0.60870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83146 ÷ 217
    83146 ÷ 131072     		y = 0.634353637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60870361328125 × 2 - 1) × π
    0.2174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68300495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634353637695312 × 2 - 1) × π
    -0.268707275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.844168802309189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68300495} λ = 0.68300495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844168802309189))-π/2
    2×atan(0.429914553724433)-π/2
    2×0.406025943434455-π/2
    0.81205188686891-1.57079632675     		φ = -0.75874444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68300495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.133301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75874444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.472854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79784 KachelY 83146 0.68300495 -0.75874444 39.133301 -43.472854
    Oben rechts KachelX + 1 79785 KachelY 83146 0.68305288 -0.75874444 39.136047 -43.472854
    Unten links KachelX 79784 KachelY + 1 83147 0.68300495 -0.75877923 39.133301 -43.474847
    Unten rechts KachelX + 1 79785 KachelY + 1 83147 0.68305288 -0.75877923 39.136047 -43.474847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75874444--0.75877923) × R
    3.47900000000623e-05 × 6371000     		dl = 221.647090000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75874444--0.75877923) × R
    3.47900000000623e-05 × 6371000     		dr = 221.647090000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68300495-0.68305288) × cos(-0.75874444) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.725700421396392 × 6371000     		do = 221.60135384908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68300495-0.68305288) × cos(-0.75877923) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.725676485060544 × 6371000     		du = 221.594044600975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75874444)-sin(-0.75877923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725700421396392-0.725676485060544)×R²
    abs(0.68305288-0.68300495)×2.39363358480738e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39363358480738e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39363358480738e-05×40589641000000     		ar = 49116.4851890402m²