Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79783 / 83113
↖ ↑ ↗
← S 43.407043°
E 39.130554°		 ← 221.89 m → S 43.407043°
E 39.133301°		 →
↑
221.84 m
↓
↑
221.84 m
↓
S 43.409038°
E 39.130554°		 ← 221.88 m →
49 223 m²		 S 43.409038°
E 39.133301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608699798583984 y=0.634105682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608699798583984 × 217)
    floor (0.608699798583984 × 131072)
    floor (79783.5)     		tx = 79783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634105682373047 × 217)
    floor (0.634105682373047 × 131072)
    floor (83113.5)     		ty = 83113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79783 / 83113 ti = "17/79783/83113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79783/83113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79783 ÷ 217
    79783 ÷ 131072     		x = 0.608695983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83113 ÷ 217
    83113 ÷ 131072     		y = 0.634101867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608695983886719 × 2 - 1) × π
    0.217391967773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.68295701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634101867675781 × 2 - 1) × π
    -0.268203735351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.842586884621727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68295701} λ = 0.68295701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842586884621727))-π/2
    2×atan(0.430595181367583)-π/2
    2×0.406600254951402-π/2
    0.813200509902805-1.57079632675     		φ = -0.75759582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68295701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.130554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75759582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.407043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79783 KachelY 83113 0.68295701 -0.75759582 39.130554 -43.407043
    Oben rechts KachelX + 1 79784 KachelY 83113 0.68300495 -0.75759582 39.133301 -43.407043
    Unten links KachelX 79783 KachelY + 1 83114 0.68295701 -0.75763064 39.130554 -43.409038
    Unten rechts KachelX + 1 79784 KachelY + 1 83114 0.68300495 -0.75763064 39.133301 -43.409038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75759582--0.75763064) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dl = 221.838219999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75759582--0.75763064) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dr = 221.838219999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68295701-0.68300495) × cos(-0.75759582) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.726490205500639 × 6371000     		do = 221.888808618153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68295701-0.68300495) × cos(-0.75763064) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.726466277563378 × 6371000     		du = 221.881500410208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75759582)-sin(-0.75763064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726490205500639-0.726466277563378)×R²
    abs(0.68300495-0.68295701)×2.39279372616918e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39279372616918e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39279372616918e-05×40589641000000     		ar = 49222.6077269677m²