Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79783 / 83050
↖ ↑ ↗
← S 43.281204°
E 39.130554°		 ← 222.35 m → S 43.281204°
E 39.133301°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
S 43.283204°
E 39.130554°		 ← 222.34 m →
49 438 m²		 S 43.283204°
E 39.133301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608699798583984 y=0.633625030517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608699798583984 × 217)
    floor (0.608699798583984 × 131072)
    floor (79783.5)     		tx = 79783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633625030517578 × 217)
    floor (0.633625030517578 × 131072)
    floor (83050.5)     		ty = 83050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79783 / 83050 ti = "17/79783/83050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79783/83050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79783 ÷ 217
    79783 ÷ 131072     		x = 0.608695983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83050 ÷ 217
    83050 ÷ 131072     		y = 0.633621215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608695983886719 × 2 - 1) × π
    0.217391967773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.68295701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633621215820312 × 2 - 1) × π
    -0.267242431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.839566859945663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68295701} λ = 0.68295701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839566859945663))-π/2
    2×atan(0.431897555051175)-π/2
    2×0.407698402340445-π/2
    0.815396804680891-1.57079632675     		φ = -0.75539952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68295701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.130554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75539952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.281204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79783 KachelY 83050 0.68295701 -0.75539952 39.130554 -43.281204
    Oben rechts KachelX + 1 79784 KachelY 83050 0.68300495 -0.75539952 39.133301 -43.281204
    Unten links KachelX 79783 KachelY + 1 83051 0.68295701 -0.75543442 39.130554 -43.283204
    Unten rechts KachelX + 1 79784 KachelY + 1 83051 0.68300495 -0.75543442 39.133301 -43.283204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75539952--0.75543442) × R
    3.49000000000599e-05 × 6371000     		dl = 222.347900000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75539952--0.75543442) × R
    3.49000000000599e-05 × 6371000     		dr = 222.347900000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68295701-0.68300495) × cos(-0.75539952) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72799769853909 × 6371000     		do = 222.349235794968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68295701-0.68300495) × cos(-0.75543442) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.727973771368643 × 6371000     		du = 222.341927821228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75539952)-sin(-0.75543442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72799769853909-0.727973771368643)×R²
    abs(0.68300495-0.68295701)×2.39271704473021e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39271704473021e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39271704473021e-05×40589641000000     		ar = 49438.0731945119m²