Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79782 / 83145
↖ ↑ ↗
← S 43.470861°
E 39.127808°		 ← 221.65 m → S 43.470861°
E 39.130554°		 →
↑
221.65 m
↓
↑
221.65 m
↓
S 43.472854°
E 39.127808°		 ← 221.65 m →
49 128 m²		 S 43.472854°
E 39.130554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608692169189453 y=0.634349822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608692169189453 × 217)
    floor (0.608692169189453 × 131072)
    floor (79782.5)     		tx = 79782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634349822998047 × 217)
    floor (0.634349822998047 × 131072)
    floor (83145.5)     		ty = 83145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79782 / 83145 ti = "17/79782/83145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79782/83145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79782 ÷ 217
    79782 ÷ 131072     		x = 0.608688354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83145 ÷ 217
    83145 ÷ 131072     		y = 0.634346008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608688354492188 × 2 - 1) × π
    0.217376708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68290907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634346008300781 × 2 - 1) × π
    -0.268692016601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.844120865409569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68290907} λ = 0.68290907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844120865409569))-π/2
    2×atan(0.429935162989208)-π/2
    2×0.406043337635419-π/2
    0.812086675270837-1.57079632675     		φ = -0.75870965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68290907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.127808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75870965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.470861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79782 KachelY 83145 0.68290907 -0.75870965 39.127808 -43.470861
    Oben rechts KachelX + 1 79783 KachelY 83145 0.68295701 -0.75870965 39.130554 -43.470861
    Unten links KachelX 79782 KachelY + 1 83146 0.68290907 -0.75874444 39.127808 -43.472854
    Unten rechts KachelX + 1 79783 KachelY + 1 83146 0.68295701 -0.75874444 39.130554 -43.472854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75870965--0.75874444) × R
    3.47899999999512e-05 × 6371000     		dl = 221.647089999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75870965--0.75874444) × R
    3.47899999999512e-05 × 6371000     		dr = 221.647089999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68290907-0.68295701) × cos(-0.75870965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725724356853893 × 6371000     		do = 221.654898727979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68290907-0.68295701) × cos(-0.75874444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725700421396392 × 6371000     		du = 221.647588223159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75870965)-sin(-0.75874444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725724356853893-0.725700421396392)×R²
    abs(0.68295701-0.68290907)×2.3935457500901e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3935457500901e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3935457500901e-05×40589641000000     		ar = 49128.3531162214m²