Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79782 / 83048
↖ ↑ ↗
← S 43.277205°
E 39.127808°		 ← 222.36 m → S 43.277205°
E 39.130554°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
S 43.279205°
E 39.127808°		 ← 222.36 m →
49 441 m²		 S 43.279205°
E 39.130554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608692169189453 y=0.633609771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608692169189453 × 217)
    floor (0.608692169189453 × 131072)
    floor (79782.5)     		tx = 79782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633609771728516 × 217)
    floor (0.633609771728516 × 131072)
    floor (83048.5)     		ty = 83048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79782 / 83048 ti = "17/79782/83048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79782/83048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79782 ÷ 217
    79782 ÷ 131072     		x = 0.608688354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83048 ÷ 217
    83048 ÷ 131072     		y = 0.63360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608688354492188 × 2 - 1) × π
    0.217376708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68290907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.2672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.839470986146423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68290907} λ = 0.68290907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839470986146423))-π/2
    2×atan(0.431938964695678)-π/2
    2×0.407733301439877-π/2
    0.815466602879754-1.57079632675     		φ = -0.75532972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68290907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.127808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75532972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.277205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79782 KachelY 83048 0.68290907 -0.75532972 39.127808 -43.277205
    Oben rechts KachelX + 1 79783 KachelY 83048 0.68295701 -0.75532972 39.130554 -43.277205
    Unten links KachelX 79782 KachelY + 1 83049 0.68290907 -0.75536462 39.127808 -43.279205
    Unten rechts KachelX + 1 79783 KachelY + 1 83049 0.68295701 -0.75536462 39.130554 -43.279205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75532972--0.75536462) × R
    3.49000000000599e-05 × 6371000     		dl = 222.347900000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75532972--0.75536462) × R
    3.49000000000599e-05 × 6371000     		dr = 222.347900000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68290907-0.68295701) × cos(-0.75532972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72804555021983 × 6371000     		do = 222.363850929453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68290907-0.68295701) × cos(-0.75536462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728021624822829 × 6371000     		du = 222.356543497369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75532972)-sin(-0.75536462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72804555021983-0.728021624822829)×R²
    abs(0.68295701-0.68290907)×2.39253970012454e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39253970012454e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39253970012454e-05×40589641000000     		ar = 49441.3228992798m²