Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79781 / 83161
↖ ↑ ↗
← S 43.502745°
E 39.125061°		 ← 221.49 m → S 43.502745°
E 39.127808°		 →
↑
221.52 m
↓
↑
221.52 m
↓
S 43.504737°
E 39.125061°		 ← 221.48 m →
49 064 m²		 S 43.504737°
E 39.127808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608684539794922 y=0.634471893310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608684539794922 × 217)
    floor (0.608684539794922 × 131072)
    floor (79781.5)     		tx = 79781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634471893310547 × 217)
    floor (0.634471893310547 × 131072)
    floor (83161.5)     		ty = 83161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79781 / 83161 ti = "17/79781/83161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79781/83161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79781 ÷ 217
    79781 ÷ 131072     		x = 0.608680725097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83161 ÷ 217
    83161 ÷ 131072     		y = 0.634468078613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608680725097656 × 2 - 1) × π
    0.217361450195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.68286114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634468078613281 × 2 - 1) × π
    -0.268936157226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.84488785580349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68286114} λ = 0.68286114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84488785580349))-π/2
    2×atan(0.429605533276757)-π/2
    2×0.405765099261652-π/2
    0.811530198523305-1.57079632675     		φ = -0.75926613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68286114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.125061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75926613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.502745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79781 KachelY 83161 0.68286114 -0.75926613 39.125061 -43.502745
    Oben rechts KachelX + 1 79782 KachelY 83161 0.68290907 -0.75926613 39.127808 -43.502745
    Unten links KachelX 79781 KachelY + 1 83162 0.68286114 -0.75930090 39.125061 -43.504737
    Unten rechts KachelX + 1 79782 KachelY + 1 83162 0.68290907 -0.75930090 39.127808 -43.504737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75926613--0.75930090) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dl = 221.519669999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75926613--0.75930090) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dr = 221.519669999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68286114-0.68290907) × cos(-0.75926613) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725341394290739 × 6371000     		do = 221.491720603786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68286114-0.68290907) × cos(-0.75930090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725317458555488 × 6371000     		du = 221.48441153908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75926613)-sin(-0.75930090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725341394290739-0.725317458555488)×R²
    abs(0.68290907-0.68286114)×2.39357352507241e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39357352507241e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39357352507241e-05×40589641000000     		ar = 49063.9633099847m²