Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79779 / 18850
↖ ↑ ↗
← N 77.822164°
E 39.119568°		 ← 64.43 m → N 77.822164°
E 39.122315°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.821585°
E 39.119568°		 ← 64.43 m →
4 150 m²		 N 77.821585°
E 39.122315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608669281005859 y=0.143817901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608669281005859 × 217)
    floor (0.608669281005859 × 131072)
    floor (79779.5)     		tx = 79779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143817901611328 × 217)
    floor (0.143817901611328 × 131072)
    floor (18850.5)     		ty = 18850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79779 / 18850 ti = "17/79779/18850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79779/18850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79779 ÷ 217
    79779 ÷ 131072     		x = 0.608665466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18850 ÷ 217
    18850 ÷ 131072     		y = 0.143814086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608665466308594 × 2 - 1) × π
    0.217330932617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.68276526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143814086914062 × 2 - 1) × π
    0.712371826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23798209566194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68276526} λ = 0.68276526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23798209566194))-π/2
    2×atan(9.37439555516261)-π/2
    2×1.4645246635987-π/2
    2.92904932719739-1.57079632675     		φ = 1.35825300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68276526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.119568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35825300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.822164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79779 KachelY 18850 0.68276526 1.35825300 39.119568 77.822164
    Oben rechts KachelX + 1 79780 KachelY 18850 0.68281320 1.35825300 39.122315 77.822164
    Unten links KachelX 79779 KachelY + 1 18851 0.68276526 1.35824289 39.119568 77.821585
    Unten rechts KachelX + 1 79780 KachelY + 1 18851 0.68281320 1.35824289 39.122315 77.821585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35825300-1.35824289) × R
    1.01099999998411e-05 × 6371000     		dl = 64.4108099989875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35825300-1.35824289) × R
    1.01099999998411e-05 × 6371000     		dr = 64.4108099989875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68276526-0.68281320) × cos(1.35825300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210946675183837 × 6371000     		do = 64.4285443685207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68276526-0.68281320) × cos(1.35824289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210956557673493 × 6371000     		du = 64.431562735237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35825300)-sin(1.35824289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210946675183837-0.210956557673493)×R²
    abs(0.68281320-0.68276526)×9.88248965624883e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.88248965624883e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.88248965624883e-06×40589641000000     		ar = 4149.99193751666m²