Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79778 / 83302
↖ ↑ ↗
← S 43.782993°
E 39.116821°		 ← 220.51 m → S 43.782993°
E 39.119568°		 →
↑
220.50 m
↓
↑
220.50 m
↓
S 43.784976°
E 39.116821°		 ← 220.50 m →
48 621 m²		 S 43.784976°
E 39.119568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608661651611328 y=0.635547637939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608661651611328 × 217)
    floor (0.608661651611328 × 131072)
    floor (79778.5)     		tx = 79778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635547637939453 × 217)
    floor (0.635547637939453 × 131072)
    floor (83302.5)     		ty = 83302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79778 / 83302 ti = "17/79778/83302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79778/83302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79778 ÷ 217
    79778 ÷ 131072     		x = 0.608657836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83302 ÷ 217
    83302 ÷ 131072     		y = 0.635543823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608657836914062 × 2 - 1) × π
    0.217315673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68271732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635543823242188 × 2 - 1) × π
    -0.271087646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.851646958649918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68271732} λ = 0.68271732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851646958649918))-π/2
    2×atan(0.426711576587034)-π/2
    2×0.403319474530828-π/2
    0.806638949061657-1.57079632675     		φ = -0.76415738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68271732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.116821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76415738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.782993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79778 KachelY 83302 0.68271732 -0.76415738 39.116821 -43.782993
    Oben rechts KachelX + 1 79779 KachelY 83302 0.68276526 -0.76415738 39.119568 -43.782993
    Unten links KachelX 79778 KachelY + 1 83303 0.68271732 -0.76419199 39.116821 -43.784976
    Unten rechts KachelX + 1 79779 KachelY + 1 83303 0.68276526 -0.76419199 39.119568 -43.784976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76415738--0.76419199) × R
    3.4610000000046e-05 × 6371000     		dl = 220.500310000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76415738--0.76419199) × R
    3.4610000000046e-05 × 6371000     		dr = 220.500310000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68271732-0.68276526) × cos(-0.76415738) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.721965646799507 × 6371000     		do = 220.506891928684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68271732-0.68276526) × cos(-0.76419199) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.721941698707824 × 6371000     		du = 220.49957756506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76415738)-sin(-0.76419199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721965646799507-0.721941698707824)×R²
    abs(0.68276526-0.68271732)×2.39480916829349e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39480916829349e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39480916829349e-05×40589641000000     		ar = 48621.0316226547m²