Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79778 / 18849
↖ ↑ ↗
← N 77.822744°
E 39.116821°		 ← 64.43 m → N 77.822744°
E 39.119568°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.822164°
E 39.116821°		 ← 64.43 m →
4 150 m²		 N 77.822164°
E 39.119568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608661651611328 y=0.143810272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608661651611328 × 217)
    floor (0.608661651611328 × 131072)
    floor (79778.5)     		tx = 79778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143810272216797 × 217)
    floor (0.143810272216797 × 131072)
    floor (18849.5)     		ty = 18849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79778 / 18849 ti = "17/79778/18849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79778/18849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79778 ÷ 217
    79778 ÷ 131072     		x = 0.608657836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18849 ÷ 217
    18849 ÷ 131072     		y = 0.143806457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608657836914062 × 2 - 1) × π
    0.217315673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68271732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143806457519531 × 2 - 1) × π
    0.712387084960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.23803003256156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68271732} λ = 0.68271732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23803003256156))-π/2
    2×atan(9.37484494539244)-π/2
    2×1.46452971954503-π/2
    2.92905943909005-1.57079632675     		φ = 1.35826311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68271732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.116821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35826311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.822744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79778 KachelY 18849 0.68271732 1.35826311 39.116821 77.822744
    Oben rechts KachelX + 1 79779 KachelY 18849 0.68276526 1.35826311 39.119568 77.822744
    Unten links KachelX 79778 KachelY + 1 18850 0.68271732 1.35825300 39.116821 77.822164
    Unten rechts KachelX + 1 79779 KachelY + 1 18850 0.68276526 1.35825300 39.119568 77.822164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35826311-1.35825300) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dl = 64.4108100004022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35826311-1.35825300) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dr = 64.4108100004022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68271732-0.68276526) × cos(1.35826311) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210936792672619 × 6371000     		do = 64.4255259953682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68271732-0.68276526) × cos(1.35825300) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210946675183837 × 6371000     		du = 64.4285443686699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35826311)-sin(1.35825300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210936792672619-0.210946675183837)×R²
    abs(0.68276526-0.68271732)×9.88251121775141e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.88251121775141e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.88251121775141e-06×40589641000000     		ar = 4149.79752208671m²