Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79777 / 82910
↖ ↑ ↗
← S 43.000630°
E 39.114075°		 ← 223.33 m → S 43.000630°
E 39.116821°		 →
↑
223.37 m
↓
↑
223.37 m
↓
S 43.002639°
E 39.114075°		 ← 223.32 m →
49 883 m²		 S 43.002639°
E 39.116821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608654022216797 y=0.632556915283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608654022216797 × 217)
    floor (0.608654022216797 × 131072)
    floor (79777.5)     		tx = 79777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632556915283203 × 217)
    floor (0.632556915283203 × 131072)
    floor (82910.5)     		ty = 82910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79777 / 82910 ti = "17/79777/82910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79777/82910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79777 ÷ 217
    79777 ÷ 131072     		x = 0.608650207519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82910 ÷ 217
    82910 ÷ 131072     		y = 0.632553100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608650207519531 × 2 - 1) × π
    0.217300415039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.68266939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632553100585938 × 2 - 1) × π
    -0.265106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.832855693998856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68266939} λ = 0.68266939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832855693998856))-π/2
    2×atan(0.434805839288522)-π/2
    2×0.410146877710392-π/2
    0.820293755420783-1.57079632675     		φ = -0.75050257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68266939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.114075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75050257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.000630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79777 KachelY 82910 0.68266939 -0.75050257 39.114075 -43.000630
    Oben rechts KachelX + 1 79778 KachelY 82910 0.68271732 -0.75050257 39.116821 -43.000630
    Unten links KachelX 79777 KachelY + 1 82911 0.68266939 -0.75053763 39.114075 -43.002639
    Unten rechts KachelX + 1 79778 KachelY + 1 82911 0.68271732 -0.75053763 39.116821 -43.002639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75050257--0.75053763) × R
    3.50599999999757e-05 × 6371000     		dl = 223.367259999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75050257--0.75053763) × R
    3.50599999999757e-05 × 6371000     		dr = 223.367259999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68266939-0.68271732) × cos(-0.75050257) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.731346205292874 × 6371000     		do = 223.325361880648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68266939-0.68271732) × cos(-0.75053763) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.73132229369905 × 6371000     		du = 223.318060187818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75050257)-sin(-0.75053763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731346205292874-0.73132229369905)×R²
    abs(0.68271732-0.68266939)×2.39115938236445e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39115938236445e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39115938236445e-05×40589641000000     		ar = 49882.758697336m²