Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79771 / 83032
↖ ↑ ↗
← S 43.245203°
E 39.097595°		 ← 222.43 m → S 43.245203°
E 39.100342°		 →
↑
222.48 m
↓
↑
222.48 m
↓
S 43.247203°
E 39.097595°		 ← 222.43 m →
49 485 m²		 S 43.247203°
E 39.100342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608608245849609 y=0.633487701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608608245849609 × 217)
    floor (0.608608245849609 × 131072)
    floor (79771.5)     		tx = 79771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633487701416016 × 217)
    floor (0.633487701416016 × 131072)
    floor (83032.5)     		ty = 83032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79771 / 83032 ti = "17/79771/83032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79771/83032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79771 ÷ 217
    79771 ÷ 131072     		x = 0.608604431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83032 ÷ 217
    83032 ÷ 131072     		y = 0.63348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608604431152344 × 2 - 1) × π
    0.217208862304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.68238177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63348388671875 × 2 - 1) × π
    -0.2669677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.838703995752502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68238177} λ = 0.68238177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838703995752502))-π/2
    2×atan(0.432270384814136)-π/2
    2×0.408012576810229-π/2
    0.816025153620458-1.57079632675     		φ = -0.75477117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68238177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.097595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75477117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.245203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79771 KachelY 83032 0.68238177 -0.75477117 39.097595 -43.245203
    Oben rechts KachelX + 1 79772 KachelY 83032 0.68242970 -0.75477117 39.100342 -43.245203
    Unten links KachelX 79771 KachelY + 1 83033 0.68238177 -0.75480609 39.097595 -43.247203
    Unten rechts KachelX + 1 79772 KachelY + 1 83033 0.68242970 -0.75480609 39.100342 -43.247203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75477117--0.75480609) × R
    3.49199999999383e-05 × 6371000     		dl = 222.475319999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75477117--0.75480609) × R
    3.49199999999383e-05 × 6371000     		dr = 222.475319999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68238177-0.68242970) × cos(-0.75477117) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.728428338720065 × 6371000     		do = 222.434356221223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68238177-0.68242970) × cos(-0.75480609) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.728404413815693 × 6371000     		du = 222.427050463856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75477117)-sin(-0.75480609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728428338720065-0.728404413815693)×R²
    abs(0.68242970-0.68238177)×2.39249043719747e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39249043719747e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39249043719747e-05×40589641000000     		ar = 49485.3419089623m²