Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79768 / 18841
↖ ↑ ↗
← N 77.827378°
E 39.089356°		 ← 64.39 m → N 77.827378°
E 39.092102°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.826798°
E 39.089356°		 ← 64.39 m →
4 147 m²		 N 77.826798°
E 39.092102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608585357666016 y=0.143749237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608585357666016 × 217)
    floor (0.608585357666016 × 131072)
    floor (79768.5)     		tx = 79768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143749237060547 × 217)
    floor (0.143749237060547 × 131072)
    floor (18841.5)     		ty = 18841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79768 / 18841 ti = "17/79768/18841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79768/18841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79768 ÷ 217
    79768 ÷ 131072     		x = 0.60858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18841 ÷ 217
    18841 ÷ 131072     		y = 0.143745422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60858154296875 × 2 - 1) × π
    0.2171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68223796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143745422363281 × 2 - 1) × π
    0.712509155273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.23841352775852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68223796} λ = 0.68223796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23841352775852))-π/2
    2×atan(9.37844084286188)-π/2
    2×1.46457015858788-π/2
    2.92914031717577-1.57079632675     		φ = 1.35834399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68223796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.089356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35834399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.827378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79768 KachelY 18841 0.68223796 1.35834399 39.089356 77.827378
    Oben rechts KachelX + 1 79769 KachelY 18841 0.68228589 1.35834399 39.092102 77.827378
    Unten links KachelX 79768 KachelY + 1 18842 0.68223796 1.35833388 39.089356 77.826798
    Unten rechts KachelX + 1 79769 KachelY + 1 18842 0.68228589 1.35833388 39.092102 77.826798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35834399-1.35833388) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dl = 64.4108100004022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35834399-1.35833388) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dr = 64.4108100004022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68223796-0.68228589) × cos(1.35834399) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.210857731806792 × 6371000     		do = 64.3879450256077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68223796-0.68228589) × cos(1.35833388) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.210867614490463 × 6371000     		du = 64.3909628219556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35834399)-sin(1.35833388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210857731806792-0.210867614490463)×R²
    abs(0.68228589-0.68223796)×9.88268367180245e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.88268367180245e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.88268367180245e-06×40589641000000     		ar = 4147.376882745m²