Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79765 / 83191
↖ ↑ ↗
← S 43.562481°
E 39.081115°		 ← 221.32 m → S 43.562481°
E 39.083862°		 →
↑
221.33 m
↓
↑
221.33 m
↓
S 43.564472°
E 39.081115°		 ← 221.31 m →
48 983 m²		 S 43.564472°
E 39.083862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608562469482422 y=0.634700775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608562469482422 × 217)
    floor (0.608562469482422 × 131072)
    floor (79765.5)     		tx = 79765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634700775146484 × 217)
    floor (0.634700775146484 × 131072)
    floor (83191.5)     		ty = 83191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79765 / 83191 ti = "17/79765/83191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79765/83191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79765 ÷ 217
    79765 ÷ 131072     		x = 0.608558654785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83191 ÷ 217
    83191 ÷ 131072     		y = 0.634696960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608558654785156 × 2 - 1) × π
    0.217117309570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.68209414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634696960449219 × 2 - 1) × π
    -0.269393920898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.846325962792091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68209414} λ = 0.68209414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846325962792091))-π/2
    2×atan(0.428988158588839)-π/2
    2×0.405243798171935-π/2
    0.810487596343869-1.57079632675     		φ = -0.76030873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68209414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.081115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76030873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.562481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79765 KachelY 83191 0.68209414 -0.76030873 39.081115 -43.562481
    Oben rechts KachelX + 1 79766 KachelY 83191 0.68214208 -0.76030873 39.083862 -43.562481
    Unten links KachelX 79765 KachelY + 1 83192 0.68209414 -0.76034347 39.081115 -43.564472
    Unten rechts KachelX + 1 79766 KachelY + 1 83192 0.68214208 -0.76034347 39.083862 -43.564472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76030873--0.76034347) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dl = 221.328540000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76030873--0.76034347) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dr = 221.328540000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68209414-0.68214208) × cos(-0.76030873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724623285482948 × 6371000     		do = 221.318603189716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68209414-0.68214208) × cos(-0.76034347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724599344141759 × 6371000     		du = 221.311290887866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76030873)-sin(-0.76034347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724623285482948-0.724599344141759)×R²
    abs(0.68214208-0.68209414)×2.39413411891043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39413411891043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39413411891043e-05×40589641000000     		ar = 48983.3141132895m²