Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79765 / 83189
↖ ↑ ↗
← S 43.558501°
E 39.081115°		 ← 221.33 m → S 43.558501°
E 39.083862°		 →
↑
221.26 m
↓
↑
221.26 m
↓
S 43.560491°
E 39.081115°		 ← 221.33 m →
48 972 m²		 S 43.560491°
E 39.083862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608562469482422 y=0.634685516357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608562469482422 × 217)
    floor (0.608562469482422 × 131072)
    floor (79765.5)     		tx = 79765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634685516357422 × 217)
    floor (0.634685516357422 × 131072)
    floor (83189.5)     		ty = 83189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79765 / 83189 ti = "17/79765/83189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79765/83189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79765 ÷ 217
    79765 ÷ 131072     		x = 0.608558654785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83189 ÷ 217
    83189 ÷ 131072     		y = 0.634681701660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608558654785156 × 2 - 1) × π
    0.217117309570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.68209414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634681701660156 × 2 - 1) × π
    -0.269363403320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.846230088992851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68209414} λ = 0.68209414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846230088992851))-π/2
    2×atan(0.429029289285078)-π/2
    2×0.405278535513142-π/2
    0.810557071026285-1.57079632675     		φ = -0.76023926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68209414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.081115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76023926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.558501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79765 KachelY 83189 0.68209414 -0.76023926 39.081115 -43.558501
    Oben rechts KachelX + 1 79766 KachelY 83189 0.68214208 -0.76023926 39.083862 -43.558501
    Unten links KachelX 79765 KachelY + 1 83190 0.68209414 -0.76027399 39.081115 -43.560491
    Unten rechts KachelX + 1 79766 KachelY + 1 83190 0.68214208 -0.76027399 39.083862 -43.560491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76023926--0.76027399) × R
    3.47299999999828e-05 × 6371000     		dl = 221.264829999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76023926--0.76027399) × R
    3.47299999999828e-05 × 6371000     		dr = 221.264829999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68209414-0.68214208) × cos(-0.76023926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724671158650776 × 6371000     		do = 221.333224887426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68209414-0.68214208) × cos(-0.76027399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724647225949613 × 6371000     		du = 221.325915224463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76023926)-sin(-0.76027399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724671158650776-0.724647225949613)×R²
    abs(0.68214208-0.68209414)×2.39327011630763e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39327011630763e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39327011630763e-05×40589641000000     		ar = 48972.4496973661m²