Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79764 / 83159
↖ ↑ ↗
← S 43.498760°
E 39.078369°		 ← 221.51 m → S 43.498760°
E 39.081115°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
S 43.500753°
E 39.078369°		 ← 221.50 m →
49 081 m²		 S 43.500753°
E 39.081115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608554840087891 y=0.634456634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608554840087891 × 217)
    floor (0.608554840087891 × 131072)
    floor (79764.5)     		tx = 79764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634456634521484 × 217)
    floor (0.634456634521484 × 131072)
    floor (83159.5)     		ty = 83159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79764 / 83159 ti = "17/79764/83159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79764/83159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79764 ÷ 217
    79764 ÷ 131072     		x = 0.608551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83159 ÷ 217
    83159 ÷ 131072     		y = 0.634452819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608551025390625 × 2 - 1) × π
    0.21710205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68204621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634452819824219 × 2 - 1) × π
    -0.268905639648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.84479198200425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68204621} λ = 0.68204621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84479198200425))-π/2
    2×atan(0.429646723165891)-π/2
    2×0.405799871026719-π/2
    0.811599742053439-1.57079632675     		φ = -0.75919658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68204621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.078369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75919658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.498760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79764 KachelY 83159 0.68204621 -0.75919658 39.078369 -43.498760
    Oben rechts KachelX + 1 79765 KachelY 83159 0.68209414 -0.75919658 39.081115 -43.498760
    Unten links KachelX 79764 KachelY + 1 83160 0.68204621 -0.75923136 39.078369 -43.500753
    Unten rechts KachelX + 1 79765 KachelY + 1 83160 0.68209414 -0.75923136 39.081115 -43.500753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75919658--0.75923136) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75919658--0.75923136) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68204621-0.68209414) × cos(-0.75919658) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.72538927001389 × 6371000     		do = 221.506340031795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68204621-0.68209414) × cos(-0.75923136) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725365329149086 × 6371000     		du = 221.499029400719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75919658)-sin(-0.75923136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72538927001389-0.725365329149086)×R²
    abs(0.68209414-0.68204621)×2.39408648035067e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39408648035067e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39408648035067e-05×40589641000000     		ar = 49081.3135634722m²