Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79763 / 84179
↖ ↑ ↗
← S 45.496722°
E 39.075623°		 ← 214.09 m → S 45.496722°
E 39.078369°		 →
↑
214.07 m
↓
↑
214.07 m
↓
S 45.498647°
E 39.075623°		 ← 214.08 m →
45 828 m²		 S 45.498647°
E 39.078369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608547210693359 y=0.642238616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608547210693359 × 217)
    floor (0.608547210693359 × 131072)
    floor (79763.5)     		tx = 79763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642238616943359 × 217)
    floor (0.642238616943359 × 131072)
    floor (84179.5)     		ty = 84179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79763 / 84179 ti = "17/79763/84179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79763/84179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79763 ÷ 217
    79763 ÷ 131072     		x = 0.608543395996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84179 ÷ 217
    84179 ÷ 131072     		y = 0.642234802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608543395996094 × 2 - 1) × π
    0.217086791992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.68199827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642234802246094 × 2 - 1) × π
    -0.284469604492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.893687619616707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68199827} λ = 0.68199827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893687619616707))-π/2
    2×atan(0.409144199272823)-π/2
    2×0.388364367670448-π/2
    0.776728735340896-1.57079632675     		φ = -0.79406759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68199827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.075623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79406759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.496722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79763 KachelY 84179 0.68199827 -0.79406759 39.075623 -45.496722
    Oben rechts KachelX + 1 79764 KachelY 84179 0.68204621 -0.79406759 39.078369 -45.496722
    Unten links KachelX 79763 KachelY + 1 84180 0.68199827 -0.79410119 39.075623 -45.498647
    Unten rechts KachelX + 1 79764 KachelY + 1 84180 0.68204621 -0.79410119 39.078369 -45.498647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79406759--0.79410119) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dl = 214.06559999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79406759--0.79410119) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dr = 214.06559999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68199827-0.68204621) × cos(-0.79406759) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700950075098764 × 6371000     		do = 214.088195389955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68199827-0.68204621) × cos(-0.79410119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700926110835598 × 6371000     		du = 214.080876087144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79406759)-sin(-0.79410119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700950075098764-0.700926110835598)×R²
    abs(0.68204621-0.68199827)×2.39642631656434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39642631656434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39642631656434e-05×40589641000000     		ar = 45828.1345977541m²