Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79760 / 83186
↖ ↑ ↗
← S 43.552530°
E 39.067383°		 ← 221.36 m → S 43.552530°
E 39.070130°		 →
↑
221.33 m
↓
↑
221.33 m
↓
S 43.554520°
E 39.067383°		 ← 221.35 m →
48 991 m²		 S 43.554520°
E 39.070130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608524322509766 y=0.634662628173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608524322509766 × 217)
    floor (0.608524322509766 × 131072)
    floor (79760.5)     		tx = 79760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634662628173828 × 217)
    floor (0.634662628173828 × 131072)
    floor (83186.5)     		ty = 83186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79760 / 83186 ti = "17/79760/83186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79760/83186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79760 ÷ 217
    79760 ÷ 131072     		x = 0.6085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83186 ÷ 217
    83186 ÷ 131072     		y = 0.634658813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6085205078125 × 2 - 1) × π
    0.217041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68185446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634658813476562 × 2 - 1) × π
    -0.269317626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846086278293991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68185446} λ = 0.68185446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846086278293991))-π/2
    2×atan(0.429090992723703)-π/2
    2×0.405330645828145-π/2
    0.810661291656291-1.57079632675     		φ = -0.76013504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68185446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.067383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76013504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.552530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79760 KachelY 83186 0.68185446 -0.76013504 39.067383 -43.552530
    Oben rechts KachelX + 1 79761 KachelY 83186 0.68190240 -0.76013504 39.070130 -43.552530
    Unten links KachelX 79760 KachelY + 1 83187 0.68185446 -0.76016978 39.067383 -43.554520
    Unten rechts KachelX + 1 79761 KachelY + 1 83187 0.68190240 -0.76016978 39.070130 -43.554520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76013504--0.76016978) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dl = 221.328540000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76013504--0.76016978) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dr = 221.328540000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68185446-0.68190240) × cos(-0.76013504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724742972180257 × 6371000     		do = 221.355158587809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68185446-0.68190240) × cos(-0.76016978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724719035211727 × 6371000     		du = 221.347847621483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76013504)-sin(-0.76016978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724742972180257-0.724719035211727)×R²
    abs(0.68190240-0.68185446)×2.39369685302027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39369685302027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39369685302027e-05×40589641000000     		ar = 48991.4050138003m²