Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79757 / 83309
↖ ↑ ↗
← S 43.796872°
E 39.059143°		 ← 220.46 m → S 43.796872°
E 39.061890°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
S 43.798854°
E 39.059143°		 ← 220.45 m →
48 596 m²		 S 43.798854°
E 39.061890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608501434326172 y=0.635601043701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608501434326172 × 217)
    floor (0.608501434326172 × 131072)
    floor (79757.5)     		tx = 79757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635601043701172 × 217)
    floor (0.635601043701172 × 131072)
    floor (83309.5)     		ty = 83309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79757 / 83309 ti = "17/79757/83309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79757/83309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79757 ÷ 217
    79757 ÷ 131072     		x = 0.608497619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83309 ÷ 217
    83309 ÷ 131072     		y = 0.635597229003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608497619628906 × 2 - 1) × π
    0.216995239257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.68171065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635597229003906 × 2 - 1) × π
    -0.271194458007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.851982516947258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68171065} λ = 0.68171065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851982516947258))-π/2
    2×atan(0.42656841399798)-π/2
    2×0.403198357811295-π/2
    0.80639671562259-1.57079632675     		φ = -0.76439961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68171065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.059143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76439961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.796872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79757 KachelY 83309 0.68171065 -0.76439961 39.059143 -43.796872
    Oben rechts KachelX + 1 79758 KachelY 83309 0.68175859 -0.76439961 39.061890 -43.796872
    Unten links KachelX 79757 KachelY + 1 83310 0.68171065 -0.76443421 39.059143 -43.798854
    Unten rechts KachelX + 1 79758 KachelY + 1 83310 0.68175859 -0.76443421 39.061890 -43.798854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76439961--0.76443421) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76439961--0.76443421) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68171065-0.68175859) × cos(-0.76439961) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.721798019682515 × 6371000     		do = 220.455694292433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68171065-0.68175859) × cos(-0.76443421) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.721774072460265 × 6371000     		du = 220.448380194356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76439961)-sin(-0.76443421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721798019682515-0.721774072460265)×R²
    abs(0.68175859-0.68171065)×2.39472222495207e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39472222495207e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39472222495207e-05×40589641000000     		ar = 48595.6975576561m²