Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79754 / 83338
↖ ↑ ↗
← S 43.854336°
E 39.050903°		 ← 220.24 m → S 43.854336°
E 39.053650°		 →
↑
220.25 m
↓
↑
220.25 m
↓
S 43.856316°
E 39.050903°		 ← 220.24 m →
48 507 m²		 S 43.856316°
E 39.053650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608478546142578 y=0.635822296142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608478546142578 × 217)
    floor (0.608478546142578 × 131072)
    floor (79754.5)     		tx = 79754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635822296142578 × 217)
    floor (0.635822296142578 × 131072)
    floor (83338.5)     		ty = 83338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79754 / 83338 ti = "17/79754/83338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79754/83338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79754 ÷ 217
    79754 ÷ 131072     		x = 0.608474731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83338 ÷ 217
    83338 ÷ 131072     		y = 0.635818481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608474731445312 × 2 - 1) × π
    0.216949462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68156684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635818481445312 × 2 - 1) × π
    -0.271636962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.85337268703624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68156684} λ = 0.68156684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85337268703624))-π/2
    2×atan(0.425975823344272)-π/2
    2×0.402696888168541-π/2
    0.805393776337082-1.57079632675     		φ = -0.76540255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68156684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.050903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76540255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.854336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79754 KachelY 83338 0.68156684 -0.76540255 39.050903 -43.854336
    Oben rechts KachelX + 1 79755 KachelY 83338 0.68161478 -0.76540255 39.053650 -43.854336
    Unten links KachelX 79754 KachelY + 1 83339 0.68156684 -0.76543712 39.050903 -43.856316
    Unten rechts KachelX + 1 79755 KachelY + 1 83339 0.68161478 -0.76543712 39.053650 -43.856316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76540255--0.76543712) × R
    3.4569999999956e-05 × 6371000     		dl = 220.24546999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76540255--0.76543712) × R
    3.4569999999956e-05 × 6371000     		dr = 220.24546999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68156684-0.68161478) × cos(-0.76540255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721103518226621 × 6371000     		do = 220.243575670825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68156684-0.68161478) × cos(-0.76543712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721079566754767 × 6371000     		du = 220.23626027481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76540255)-sin(-0.76543712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721103518226621-0.721079566754767)×R²
    abs(0.68161478-0.68156684)×2.39514718530787e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39514718530787e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39514718530787e-05×40589641000000     		ar = 48506.8442515443m²