Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79754 / 83318
↖ ↑ ↗
← S 43.814711°
E 39.050903°		 ← 220.39 m → S 43.814711°
E 39.053650°		 →
↑
220.37 m
↓
↑
220.37 m
↓
S 43.816693°
E 39.050903°		 ← 220.38 m →
48 567 m²		 S 43.816693°
E 39.053650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608478546142578 y=0.635669708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608478546142578 × 217)
    floor (0.608478546142578 × 131072)
    floor (79754.5)     		tx = 79754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635669708251953 × 217)
    floor (0.635669708251953 × 131072)
    floor (83318.5)     		ty = 83318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79754 / 83318 ti = "17/79754/83318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79754/83318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79754 ÷ 217
    79754 ÷ 131072     		x = 0.608474731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83318 ÷ 217
    83318 ÷ 131072     		y = 0.635665893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608474731445312 × 2 - 1) × π
    0.216949462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68156684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635665893554688 × 2 - 1) × π
    -0.271331787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.852413949043838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68156684} λ = 0.68156684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852413949043838))-π/2
    2×atan(0.426384418386454)-π/2
    2×0.403042677641394-π/2
    0.806085355282788-1.57079632675     		φ = -0.76471097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68156684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.050903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76471097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.814711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79754 KachelY 83318 0.68156684 -0.76471097 39.050903 -43.814711
    Oben rechts KachelX + 1 79755 KachelY 83318 0.68161478 -0.76471097 39.053650 -43.814711
    Unten links KachelX 79754 KachelY + 1 83319 0.68156684 -0.76474556 39.050903 -43.816693
    Unten rechts KachelX + 1 79755 KachelY + 1 83319 0.68161478 -0.76474556 39.053650 -43.816693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76471097--0.76474556) × R
    3.45900000000565e-05 × 6371000     		dl = 220.37289000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76471097--0.76474556) × R
    3.45900000000565e-05 × 6371000     		dr = 220.37289000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68156684-0.68161478) × cos(-0.76471097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721582491270972 × 6371000     		do = 220.389866367336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68156684-0.68161478) × cos(-0.76474556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721558543197576 × 6371000     		du = 220.382552009297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76471097)-sin(-0.76474556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721582491270972-0.721558543197576)×R²
    abs(0.68161478-0.68156684)×2.39480733957853e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39480733957853e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39480733957853e-05×40589641000000     		ar = 48567.1458398636m²