Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79753 / 83313
↖ ↑ ↗
← S 43.804801°
E 39.048157°		 ← 220.43 m → S 43.804801°
E 39.050903°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
S 43.806783°
E 39.048157°		 ← 220.42 m →
48 589 m²		 S 43.806783°
E 39.050903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608470916748047 y=0.635631561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608470916748047 × 217)
    floor (0.608470916748047 × 131072)
    floor (79753.5)     		tx = 79753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635631561279297 × 217)
    floor (0.635631561279297 × 131072)
    floor (83313.5)     		ty = 83313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79753 / 83313 ti = "17/79753/83313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79753/83313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79753 ÷ 217
    79753 ÷ 131072     		x = 0.608467102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83313 ÷ 217
    83313 ÷ 131072     		y = 0.635627746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608467102050781 × 2 - 1) × π
    0.216934204101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.68151890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635627746582031 × 2 - 1) × π
    -0.271255493164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.852174264545738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68151890} λ = 0.68151890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852174264545738))-π/2
    2×atan(0.426486628370358)-π/2
    2×0.4031291608848-π/2
    0.8062583217696-1.57079632675     		φ = -0.76453800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68151890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.048157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76453800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.804801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79753 KachelY 83313 0.68151890 -0.76453800 39.048157 -43.804801
    Oben rechts KachelX + 1 79754 KachelY 83313 0.68156684 -0.76453800 39.050903 -43.804801
    Unten links KachelX 79753 KachelY + 1 83314 0.68151890 -0.76457260 39.048157 -43.806783
    Unten rechts KachelX + 1 79754 KachelY + 1 83314 0.68156684 -0.76457260 39.050903 -43.806783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76453800--0.76457260) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76453800--0.76457260) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68151890-0.68156684) × cos(-0.76453800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721702232531194 × 6371000     		do = 220.426438430347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68151890-0.68156684) × cos(-0.76457260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72167828185305 × 6371000     		du = 220.419123276752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76453800)-sin(-0.76457260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721702232531194-0.72167828185305)×R²
    abs(0.68156684-0.68151890)×2.39506781438692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39506781438692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39506781438692e-05×40589641000000     		ar = 48589.2483786498m²