Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79752 / 82997
↖ ↑ ↗
← S 43.175138°
E 39.045410°		 ← 222.74 m → S 43.175138°
E 39.048157°		 →
↑
222.73 m
↓
↑
222.73 m
↓
S 43.177141°
E 39.045410°		 ← 222.73 m →
49 609 m²		 S 43.177141°
E 39.048157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608463287353516 y=0.633220672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608463287353516 × 217)
    floor (0.608463287353516 × 131072)
    floor (79752.5)     		tx = 79752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633220672607422 × 217)
    floor (0.633220672607422 × 131072)
    floor (82997.5)     		ty = 82997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79752 / 82997 ti = "17/79752/82997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79752/82997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79752 ÷ 217
    79752 ÷ 131072     		x = 0.60845947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82997 ÷ 217
    82997 ÷ 131072     		y = 0.633216857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60845947265625 × 2 - 1) × π
    0.2169189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68147096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633216857910156 × 2 - 1) × π
    -0.266433715820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.837026204265801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68147096} λ = 0.68147096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837026204265801))-π/2
    2×atan(0.432996253143307)-π/2
    2×0.408624003436481-π/2
    0.817248006872962-1.57079632675     		φ = -0.75354832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68147096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.045410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75354832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.175138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79752 KachelY 82997 0.68147096 -0.75354832 39.045410 -43.175138
    Oben rechts KachelX + 1 79753 KachelY 82997 0.68151890 -0.75354832 39.048157 -43.175138
    Unten links KachelX 79752 KachelY + 1 82998 0.68147096 -0.75358328 39.045410 -43.177141
    Unten rechts KachelX + 1 79753 KachelY + 1 82998 0.68151890 -0.75358328 39.048157 -43.177141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75354832--0.75358328) × R
    3.49599999999173e-05 × 6371000     		dl = 222.730159999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75354832--0.75358328) × R
    3.49599999999173e-05 × 6371000     		dr = 222.730159999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68147096-0.68151890) × cos(-0.75354832) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.729265595317372 × 6371000     		do = 222.736484106719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68147096-0.68151890) × cos(-0.75358328) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.729241674165411 × 6371000     		du = 222.729177971179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75354832)-sin(-0.75358328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729265595317372-0.729241674165411)×R²
    abs(0.68151890-0.68147096)×2.39211519607041e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39211519607041e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39211519607041e-05×40589641000000     		ar = 49609.3190993585m²