Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79751 / 82996
↖ ↑ ↗
← S 43.173135°
E 39.042664°		 ← 222.70 m → S 43.173135°
E 39.045410°		 →
↑
222.73 m
↓
↑
222.73 m
↓
S 43.175138°
E 39.042664°		 ← 222.69 m →
49 601 m²		 S 43.175138°
E 39.045410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608455657958984 y=0.633213043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608455657958984 × 217)
    floor (0.608455657958984 × 131072)
    floor (79751.5)     		tx = 79751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633213043212891 × 217)
    floor (0.633213043212891 × 131072)
    floor (82996.5)     		ty = 82996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79751 / 82996 ti = "17/79751/82996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79751/82996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79751 ÷ 217
    79751 ÷ 131072     		x = 0.608451843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82996 ÷ 217
    82996 ÷ 131072     		y = 0.633209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608451843261719 × 2 - 1) × π
    0.216903686523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.68142303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633209228515625 × 2 - 1) × π
    -0.26641845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.83697826736618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68142303} λ = 0.68142303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.83697826736618))-π/2
    2×atan(0.433017010138739)-π/2
    2×0.408641483088962-π/2
    0.817282966177924-1.57079632675     		φ = -0.75351336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68142303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.042664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75351336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.173135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79751 KachelY 82996 0.68142303 -0.75351336 39.042664 -43.173135
    Oben rechts KachelX + 1 79752 KachelY 82996 0.68147096 -0.75351336 39.045410 -43.173135
    Unten links KachelX 79751 KachelY + 1 82997 0.68142303 -0.75354832 39.042664 -43.175138
    Unten rechts KachelX + 1 79752 KachelY + 1 82997 0.68147096 -0.75354832 39.045410 -43.175138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75351336--0.75354832) × R
    3.49600000000283e-05 × 6371000     		dl = 222.73016000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75351336--0.75354832) × R
    3.49600000000283e-05 × 6371000     		dr = 222.73016000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68142303-0.68147096) × cos(-0.75351336) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.729289515578023 × 6371000     		do = 222.697326934242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68142303-0.68147096) × cos(-0.75354832) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.729265595317372 × 6371000     		du = 222.690022594892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75351336)-sin(-0.75354832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729289515578023-0.729265595317372)×R²
    abs(0.68147096-0.68142303)×2.39202606512334e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39202606512334e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39202606512334e-05×40589641000000     		ar = 49600.5978164152m²