Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79750 / 83342
↖ ↑ ↗
← S 43.862257°
E 39.039917°		 ← 220.21 m → S 43.862257°
E 39.042664°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
S 43.864238°
E 39.039917°		 ← 220.21 m →
48 486 m²		 S 43.864238°
E 39.042664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608448028564453 y=0.635852813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608448028564453 × 217)
    floor (0.608448028564453 × 131072)
    floor (79750.5)     		tx = 79750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635852813720703 × 217)
    floor (0.635852813720703 × 131072)
    floor (83342.5)     		ty = 83342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79750 / 83342 ti = "17/79750/83342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79750/83342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79750 ÷ 217
    79750 ÷ 131072     		x = 0.608444213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83342 ÷ 217
    83342 ÷ 131072     		y = 0.635848999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608444213867188 × 2 - 1) × π
    0.216888427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68137509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635848999023438 × 2 - 1) × π
    -0.271697998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.85356443463472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68137509} λ = 0.68137509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85356443463472))-π/2
    2×atan(0.425894151333591)-π/2
    2×0.402627757826868-π/2
    0.805255515653737-1.57079632675     		φ = -0.76554081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68137509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.039917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76554081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.862257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79750 KachelY 83342 0.68137509 -0.76554081 39.039917 -43.862257
    Oben rechts KachelX + 1 79751 KachelY 83342 0.68142303 -0.76554081 39.042664 -43.862257
    Unten links KachelX 79750 KachelY + 1 83343 0.68137509 -0.76557537 39.039917 -43.864238
    Unten rechts KachelX + 1 79751 KachelY + 1 83343 0.68142303 -0.76557537 39.042664 -43.864238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76554081--0.76557537) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76554081--0.76557537) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68137509-0.68142303) × cos(-0.76554081) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.721007721027356 × 6371000     		do = 220.214316740859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68137509-0.68142303) × cos(-0.76557537) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.720983773038687 × 6371000     		du = 220.207002408699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76554081)-sin(-0.76557537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721007721027356-0.720983773038687)×R²
    abs(0.68142303-0.68137509)×2.39479886686711e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39479886686711e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39479886686711e-05×40589641000000     		ar = 48486.3706007314m²