Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79749 / 83299
↖ ↑ ↗
← S 43.777044°
E 39.037170°		 ← 220.53 m → S 43.777044°
E 39.039917°		 →
↑
220.50 m
↓
↑
220.50 m
↓
S 43.779027°
E 39.037170°		 ← 220.52 m →
48 626 m²		 S 43.779027°
E 39.039917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608440399169922 y=0.635524749755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608440399169922 × 217)
    floor (0.608440399169922 × 131072)
    floor (79749.5)     		tx = 79749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635524749755859 × 217)
    floor (0.635524749755859 × 131072)
    floor (83299.5)     		ty = 83299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79749 / 83299 ti = "17/79749/83299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79749/83299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79749 ÷ 217
    79749 ÷ 131072     		x = 0.608436584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83299 ÷ 217
    83299 ÷ 131072     		y = 0.635520935058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608436584472656 × 2 - 1) × π
    0.216873168945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.68132715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635520935058594 × 2 - 1) × π
    -0.271041870117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.851503147951057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68132715} λ = 0.68132715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851503147951057))-π/2
    2×atan(0.426772946689808)-π/2
    2×0.4033713903059-π/2
    0.806742780611801-1.57079632675     		φ = -0.76405355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68132715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.037170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76405355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.777044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79749 KachelY 83299 0.68132715 -0.76405355 39.037170 -43.777044
    Oben rechts KachelX + 1 79750 KachelY 83299 0.68137509 -0.76405355 39.039917 -43.777044
    Unten links KachelX 79749 KachelY + 1 83300 0.68132715 -0.76408816 39.037170 -43.779027
    Unten rechts KachelX + 1 79750 KachelY + 1 83300 0.68137509 -0.76408816 39.039917 -43.779027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76405355--0.76408816) × R
    3.4610000000046e-05 × 6371000     		dl = 220.500310000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76405355--0.76408816) × R
    3.4610000000046e-05 × 6371000     		dr = 220.500310000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68132715-0.68137509) × cos(-0.76405355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.722037485885593 × 6371000     		do = 220.528833434202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68132715-0.68137509) × cos(-0.76408816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72201354038842 × 6371000     		du = 220.521519863009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76405355)-sin(-0.76408816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722037485885593-0.72201354038842)×R²
    abs(0.68137509-0.68132715)×2.39454971726616e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39454971726616e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39454971726616e-05×40589641000000     		ar = 48625.8698187451m²