Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79748 / 83300
↖ ↑ ↗
← S 43.779027°
E 39.034424°		 ← 220.48 m → S 43.779027°
E 39.037170°		 →
↑
220.50 m
↓
↑
220.50 m
↓
S 43.781010°
E 39.034424°		 ← 220.47 m →
48 614 m²		 S 43.781010°
E 39.037170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608432769775391 y=0.635532379150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608432769775391 × 217)
    floor (0.608432769775391 × 131072)
    floor (79748.5)     		tx = 79748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635532379150391 × 217)
    floor (0.635532379150391 × 131072)
    floor (83300.5)     		ty = 83300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79748 / 83300 ti = "17/79748/83300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79748/83300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79748 ÷ 217
    79748 ÷ 131072     		x = 0.608428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83300 ÷ 217
    83300 ÷ 131072     		y = 0.635528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608428955078125 × 2 - 1) × π
    0.21685791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68127922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635528564453125 × 2 - 1) × π
    -0.27105712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.851551084850678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68127922} λ = 0.68127922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851551084850678))-π/2
    2×atan(0.426752489008245)-π/2
    2×0.403354084473578-π/2
    0.806708168947155-1.57079632675     		φ = -0.76408816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68127922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.034424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76408816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.779027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79748 KachelY 83300 0.68127922 -0.76408816 39.034424 -43.779027
    Oben rechts KachelX + 1 79749 KachelY 83300 0.68132715 -0.76408816 39.037170 -43.779027
    Unten links KachelX 79748 KachelY + 1 83301 0.68127922 -0.76412277 39.034424 -43.781010
    Unten rechts KachelX + 1 79749 KachelY + 1 83301 0.68132715 -0.76412277 39.037170 -43.781010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76408816--0.76412277) × R
    3.4609999999935e-05 × 6371000     		dl = 220.500309999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76408816--0.76412277) × R
    3.4609999999935e-05 × 6371000     		dr = 220.500309999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68127922-0.68132715) × cos(-0.76408816) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.72201354038842 × 6371000     		do = 220.47552038063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68127922-0.68132715) × cos(-0.76412277) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.721989594026382 × 6371000     		du = 220.468208070907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76408816)-sin(-0.76412277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72201354038842-0.721989594026382)×R²
    abs(0.68132715-0.68127922)×2.39463620380631e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39463620380631e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39463620380631e-05×40589641000000     		ar = 48614.1144127936m²