Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79742 / 83346
↖ ↑ ↗
← S 43.870178°
E 39.017945°		 ← 220.14 m → S 43.870178°
E 39.020691°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
S 43.872158°
E 39.017945°		 ← 220.13 m →
48 470 m²		 S 43.872158°
E 39.020691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608386993408203 y=0.635883331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608386993408203 × 217)
    floor (0.608386993408203 × 131072)
    floor (79742.5)     		tx = 79742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635883331298828 × 217)
    floor (0.635883331298828 × 131072)
    floor (83346.5)     		ty = 83346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79742 / 83346 ti = "17/79742/83346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79742/83346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79742 ÷ 217
    79742 ÷ 131072     		x = 0.608383178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83346 ÷ 217
    83346 ÷ 131072     		y = 0.635879516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608383178710938 × 2 - 1) × π
    0.216766357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68099160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635879516601562 × 2 - 1) × π
    -0.271759033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.8537561822332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68099160} λ = 0.68099160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8537561822332))-π/2
    2×atan(0.425812494981821)-π/2
    2×0.402558636669733-π/2
    0.805117273339467-1.57079632675     		φ = -0.76567905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68099160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.017945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76567905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.870178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79742 KachelY 83346 0.68099160 -0.76567905 39.017945 -43.870178
    Oben rechts KachelX + 1 79743 KachelY 83346 0.68103953 -0.76567905 39.020691 -43.870178
    Unten links KachelX 79742 KachelY + 1 83347 0.68099160 -0.76571361 39.017945 -43.872158
    Unten rechts KachelX + 1 79743 KachelY + 1 83347 0.68103953 -0.76571361 39.020691 -43.872158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76567905--0.76571361) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76567905--0.76571361) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68099160-0.68103953) × cos(-0.76567905) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.720911923905965 × 6371000     		do = 220.139128534756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68099160-0.68103953) × cos(-0.76571361) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.720887972472915 × 6371000     		du = 220.131814676538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76567905)-sin(-0.76571361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720911923905965-0.720887972472915)×R²
    abs(0.68103953-0.68099160)×2.39514330504509e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39514330504509e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39514330504509e-05×40589641000000     		ar = 48469.8155814982m²