Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79742 / 83020
↖ ↑ ↗
← S 43.221190°
E 39.017945°		 ← 222.52 m → S 43.221190°
E 39.020691°		 →
↑
222.54 m
↓
↑
222.54 m
↓
S 43.223191°
E 39.017945°		 ← 222.51 m →
49 519 m²		 S 43.223191°
E 39.020691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608386993408203 y=0.633396148681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608386993408203 × 217)
    floor (0.608386993408203 × 131072)
    floor (79742.5)     		tx = 79742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633396148681641 × 217)
    floor (0.633396148681641 × 131072)
    floor (83020.5)     		ty = 83020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79742 / 83020 ti = "17/79742/83020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79742/83020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79742 ÷ 217
    79742 ÷ 131072     		x = 0.608383178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83020 ÷ 217
    83020 ÷ 131072     		y = 0.633392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608383178710938 × 2 - 1) × π
    0.216766357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68099160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633392333984375 × 2 - 1) × π
    -0.26678466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.838128752957062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68099160} λ = 0.68099160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838128752957062))-π/2
    2×atan(0.432519116772458)-π/2
    2×0.408222129671276-π/2
    0.816444259342552-1.57079632675     		φ = -0.75435207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68099160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.017945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75435207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.221190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79742 KachelY 83020 0.68099160 -0.75435207 39.017945 -43.221190
    Oben rechts KachelX + 1 79743 KachelY 83020 0.68103953 -0.75435207 39.020691 -43.221190
    Unten links KachelX 79742 KachelY + 1 83021 0.68099160 -0.75438700 39.017945 -43.223191
    Unten rechts KachelX + 1 79743 KachelY + 1 83021 0.68103953 -0.75438700 39.020691 -43.223191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75435207--0.75438700) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dl = 222.539029999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75435207--0.75438700) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dr = 222.539029999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68099160-0.68103953) × cos(-0.75435207) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.728715409369674 × 6371000     		do = 222.522016697025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68099160-0.68103953) × cos(-0.75438700) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.728691488279335 × 6371000     		du = 222.51471210432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75435207)-sin(-0.75438700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728715409369674-0.728691488279335)×R²
    abs(0.68103953-0.68099160)×2.39210903391074e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39210903391074e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39210903391074e-05×40589641000000     		ar = 49519.0209758817m²