Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79740 / 83340
↖ ↑ ↗
← S 43.858297°
E 39.012451°		 ← 220.23 m → S 43.858297°
E 39.015198°		 →
↑
220.25 m
↓
↑
220.25 m
↓
S 43.860277°
E 39.012451°		 ← 220.22 m →
48 504 m²		 S 43.860277°
E 39.015198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608371734619141 y=0.635837554931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608371734619141 × 217)
    floor (0.608371734619141 × 131072)
    floor (79740.5)     		tx = 79740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635837554931641 × 217)
    floor (0.635837554931641 × 131072)
    floor (83340.5)     		ty = 83340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79740 / 83340 ti = "17/79740/83340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79740/83340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79740 ÷ 217
    79740 ÷ 131072     		x = 0.608367919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83340 ÷ 217
    83340 ÷ 131072     		y = 0.635833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608367919921875 × 2 - 1) × π
    0.21673583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68089572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.27166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.85346856083548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68089572} λ = 0.68089572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85346856083548))-π/2
    2×atan(0.42593498538138)-π/2
    2×0.402662321849644-π/2
    0.805324643699288-1.57079632675     		φ = -0.76547168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68089572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.012451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76547168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.858297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79740 KachelY 83340 0.68089572 -0.76547168 39.012451 -43.858297
    Oben rechts KachelX + 1 79741 KachelY 83340 0.68094366 -0.76547168 39.015198 -43.858297
    Unten links KachelX 79740 KachelY + 1 83341 0.68089572 -0.76550625 39.012451 -43.860277
    Unten rechts KachelX + 1 79741 KachelY + 1 83341 0.68094366 -0.76550625 39.015198 -43.860277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76547168--0.76550625) × R
    3.4570000000067e-05 × 6371000     		dl = 220.245470000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76547168--0.76550625) × R
    3.4570000000067e-05 × 6371000     		dr = 220.245470000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68089572-0.68094366) × cos(-0.76547168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721055621349935 × 6371000     		do = 220.228946731819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68089572-0.68094366) × cos(-0.76550625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721031668154857 × 6371000     		du = 220.221630809487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76547168)-sin(-0.76550625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721055621349935-0.721031668154857)×R²
    abs(0.68094366-0.68089572)×2.39531950778638e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39531950778638e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39531950778638e-05×40589641000000     		ar = 48503.6222360426m²