Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79739 / 83081
↖ ↑ ↗
← S 43.343158°
E 39.009705°		 ← 222.08 m → S 43.343158°
E 39.012451°		 →
↑
222.09 m
↓
↑
222.09 m
↓
S 43.345155°
E 39.009705°		 ← 222.07 m →
49 321 m²		 S 43.345155°
E 39.012451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608364105224609 y=0.633861541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608364105224609 × 217)
    floor (0.608364105224609 × 131072)
    floor (79739.5)     		tx = 79739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633861541748047 × 217)
    floor (0.633861541748047 × 131072)
    floor (83081.5)     		ty = 83081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79739 / 83081 ti = "17/79739/83081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79739/83081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79739 ÷ 217
    79739 ÷ 131072     		x = 0.608360290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83081 ÷ 217
    83081 ÷ 131072     		y = 0.633857727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608360290527344 × 2 - 1) × π
    0.216720581054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.68084779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633857727050781 × 2 - 1) × π
    -0.267715454101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.841052903833885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68084779} λ = 0.68084779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841052903833885))-π/2
    2×atan(0.431256212978411)-π/2
    2×0.407157759632198-π/2
    0.814315519264396-1.57079632675     		φ = -0.75648081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68084779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.009705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75648081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.343158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79739 KachelY 83081 0.68084779 -0.75648081 39.009705 -43.343158
    Oben rechts KachelX + 1 79740 KachelY 83081 0.68089572 -0.75648081 39.012451 -43.343158
    Unten links KachelX 79739 KachelY + 1 83082 0.68084779 -0.75651567 39.009705 -43.345155
    Unten rechts KachelX + 1 79740 KachelY + 1 83082 0.68089572 -0.75651567 39.012451 -43.345155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75648081--0.75651567) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dl = 222.093059999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75648081--0.75651567) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dr = 222.093059999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68084779-0.68089572) × cos(-0.75648081) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.727255962763983 × 6371000     		do = 222.07635711935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68084779-0.68089572) × cos(-0.75651567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.727232035591184 × 6371000     		du = 222.069050669292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75648081)-sin(-0.75651567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727255962763983-0.727232035591184)×R²
    abs(0.68089572-0.68084779)×2.39271727985324e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39271727985324e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39271727985324e-05×40589641000000     		ar = 49320.8063552851m²