Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79738 / 83058
↖ ↑ ↗
← S 43.297198°
E 39.006958°		 ← 222.29 m → S 43.297198°
E 39.009705°		 →
↑
222.28 m
↓
↑
222.28 m
↓
S 43.299198°
E 39.006958°		 ← 222.28 m →
49 411 m²		 S 43.299198°
E 39.009705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608356475830078 y=0.633686065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608356475830078 × 217)
    floor (0.608356475830078 × 131072)
    floor (79738.5)     		tx = 79738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633686065673828 × 217)
    floor (0.633686065673828 × 131072)
    floor (83058.5)     		ty = 83058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79738 / 83058 ti = "17/79738/83058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79738/83058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79738 ÷ 217
    79738 ÷ 131072     		x = 0.608352661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83058 ÷ 217
    83058 ÷ 131072     		y = 0.633682250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608352661132812 × 2 - 1) × π
    0.216705322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68079985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633682250976562 × 2 - 1) × π
    -0.267364501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.839950355142624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68079985} λ = 0.68079985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839950355142624))-π/2
    2×atan(0.431731956168451)-π/2
    2×0.407558828881027-π/2
    0.815117657762054-1.57079632675     		φ = -0.75567867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68079985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.006958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75567867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.297198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79738 KachelY 83058 0.68079985 -0.75567867 39.006958 -43.297198
    Oben rechts KachelX + 1 79739 KachelY 83058 0.68084779 -0.75567867 39.009705 -43.297198
    Unten links KachelX 79738 KachelY + 1 83059 0.68079985 -0.75571356 39.006958 -43.299198
    Unten rechts KachelX + 1 79739 KachelY + 1 83059 0.68084779 -0.75571356 39.009705 -43.299198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75567867--0.75571356) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75567867--0.75571356) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68079985-0.68084779) × cos(-0.75567867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727806290639262 × 6371000     		do = 222.290774895006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68079985-0.68084779) × cos(-0.75571356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727782363235548 × 6371000     		du = 222.28346685002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75567867)-sin(-0.75571356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727806290639262-0.727782363235548)×R²
    abs(0.68084779-0.68079985)×2.39274037142634e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39274037142634e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39274037142634e-05×40589641000000     		ar = 49410.912615607m²