Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79737 / 83321
↖ ↑ ↗
← S 43.820657°
E 39.004211°		 ← 220.37 m → S 43.820657°
E 39.006958°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
S 43.822638°
E 39.004211°		 ← 220.36 m →
48 548 m²		 S 43.822638°
E 39.006958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608348846435547 y=0.635692596435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608348846435547 × 217)
    floor (0.608348846435547 × 131072)
    floor (79737.5)     		tx = 79737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635692596435547 × 217)
    floor (0.635692596435547 × 131072)
    floor (83321.5)     		ty = 83321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79737 / 83321 ti = "17/79737/83321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79737/83321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79737 ÷ 217
    79737 ÷ 131072     		x = 0.608345031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83321 ÷ 217
    83321 ÷ 131072     		y = 0.635688781738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608345031738281 × 2 - 1) × π
    0.216690063476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.68075191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635688781738281 × 2 - 1) × π
    -0.271377563476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.852557759742699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68075191} λ = 0.68075191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852557759742699))-π/2
    2×atan(0.42632310415419)-π/2
    2×0.402990794583276-π/2
    0.805981589166553-1.57079632675     		φ = -0.76481474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68075191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.004211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76481474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.820657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79737 KachelY 83321 0.68075191 -0.76481474 39.004211 -43.820657
    Oben rechts KachelX + 1 79738 KachelY 83321 0.68079985 -0.76481474 39.006958 -43.820657
    Unten links KachelX 79737 KachelY + 1 83322 0.68075191 -0.76484932 39.004211 -43.822638
    Unten rechts KachelX + 1 79738 KachelY + 1 83322 0.68079985 -0.76484932 39.006958 -43.822638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76481474--0.76484932) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dl = 220.30918000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76481474--0.76484932) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dr = 220.30918000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68075191-0.68079985) × cos(-0.76481474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721510644460848 × 6371000     		do = 220.367922502187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68075191-0.68079985) × cos(-0.76484932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721486700721856 × 6371000     		du = 220.360609467987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76481474)-sin(-0.76484932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721510644460848-0.721486700721856)×R²
    abs(0.68079985-0.68075191)×2.39437389921715e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39437389921715e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39437389921715e-05×40589641000000     		ar = 48548.2707453146m²