Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79737 / 83079
↖ ↑ ↗
← S 43.339162°
E 39.004211°		 ← 222.14 m → S 43.339162°
E 39.006958°		 →
↑
222.09 m
↓
↑
222.09 m
↓
S 43.341160°
E 39.004211°		 ← 222.13 m →
49 334 m²		 S 43.341160°
E 39.006958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608348846435547 y=0.633846282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608348846435547 × 217)
    floor (0.608348846435547 × 131072)
    floor (79737.5)     		tx = 79737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633846282958984 × 217)
    floor (0.633846282958984 × 131072)
    floor (83079.5)     		ty = 83079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79737 / 83079 ti = "17/79737/83079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79737/83079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79737 ÷ 217
    79737 ÷ 131072     		x = 0.608345031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83079 ÷ 217
    83079 ÷ 131072     		y = 0.633842468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608345031738281 × 2 - 1) × π
    0.216690063476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.68075191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633842468261719 × 2 - 1) × π
    -0.267684936523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.840957030034645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68075191} λ = 0.68075191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840957030034645))-π/2
    2×atan(0.431297561132066)-π/2
    2×0.407192623175413-π/2
    0.814385246350827-1.57079632675     		φ = -0.75641108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68075191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.004211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75641108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.339162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79737 KachelY 83079 0.68075191 -0.75641108 39.004211 -43.339162
    Oben rechts KachelX + 1 79738 KachelY 83079 0.68079985 -0.75641108 39.006958 -43.339162
    Unten links KachelX 79737 KachelY + 1 83080 0.68075191 -0.75644594 39.004211 -43.341160
    Unten rechts KachelX + 1 79738 KachelY + 1 83080 0.68079985 -0.75644594 39.006958 -43.341160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75641108--0.75644594) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dl = 222.093059999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75641108--0.75644594) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dr = 222.093059999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68075191-0.68079985) × cos(-0.75641108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72730382132138 × 6371000     		do = 222.137307831765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68075191-0.68079985) × cos(-0.75644594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727279895916415 × 6371000     		du = 222.130000397248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75641108)-sin(-0.75644594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72730382132138-0.727279895916415)×R²
    abs(0.68079985-0.68075191)×2.39254049645421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39254049645421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39254049645421e-05×40589641000000     		ar = 49334.3429761491m²