Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79736 / 83075
↖ ↑ ↗
← S 43.331171°
E 39.001465°		 ← 222.17 m → S 43.331171°
E 39.004211°		 →
↑
222.16 m
↓
↑
222.16 m
↓
S 43.333169°
E 39.001465°		 ← 222.16 m →
49 355 m²		 S 43.333169°
E 39.004211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608341217041016 y=0.633815765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608341217041016 × 217)
    floor (0.608341217041016 × 131072)
    floor (79736.5)     		tx = 79736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633815765380859 × 217)
    floor (0.633815765380859 × 131072)
    floor (83075.5)     		ty = 83075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79736 / 83075 ti = "17/79736/83075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79736/83075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79736 ÷ 217
    79736 ÷ 131072     		x = 0.60833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83075 ÷ 217
    83075 ÷ 131072     		y = 0.633811950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60833740234375 × 2 - 1) × π
    0.2166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68070397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633811950683594 × 2 - 1) × π
    -0.267623901367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.840765282436165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68070397} λ = 0.68070397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840765282436165))-π/2
    2×atan(0.431380269332939)-π/2
    2×0.407262357144083-π/2
    0.814524714288165-1.57079632675     		φ = -0.75627161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68070397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.001465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75627161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.331171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79736 KachelY 83075 0.68070397 -0.75627161 39.001465 -43.331171
    Oben rechts KachelX + 1 79737 KachelY 83075 0.68075191 -0.75627161 39.004211 -43.331171
    Unten links KachelX 79736 KachelY + 1 83076 0.68070397 -0.75630648 39.001465 -43.333169
    Unten rechts KachelX + 1 79737 KachelY + 1 83076 0.68075191 -0.75630648 39.004211 -43.333169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75627161--0.75630648) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dl = 222.156770000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75627161--0.75630648) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dr = 222.156770000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68070397-0.68075191) × cos(-0.75627161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727399534689035 × 6371000     		do = 222.166541157909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68070397-0.68075191) × cos(-0.75630648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727375605957945 × 6371000     		du = 222.159232707508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75627161)-sin(-0.75630648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727399534689035-0.727375605957945)×R²
    abs(0.68075191-0.68070397)×2.39287310895842e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39287310895842e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39287310895842e-05×40589641000000     		ar = 49354.9893798526m²