Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79734 / 83054
↖ ↑ ↗
← S 43.289202°
E 38.995972°		 ← 222.32 m → S 43.289202°
E 38.998718°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
S 43.291201°
E 38.995972°		 ← 222.31 m →
49 432 m²		 S 43.291201°
E 38.998718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608325958251953 y=0.633655548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608325958251953 × 217)
    floor (0.608325958251953 × 131072)
    floor (79734.5)     		tx = 79734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633655548095703 × 217)
    floor (0.633655548095703 × 131072)
    floor (83054.5)     		ty = 83054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79734 / 83054 ti = "17/79734/83054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79734/83054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79734 ÷ 217
    79734 ÷ 131072     		x = 0.608322143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83054 ÷ 217
    83054 ÷ 131072     		y = 0.633651733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608322143554688 × 2 - 1) × π
    0.216644287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68060810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633651733398438 × 2 - 1) × π
    -0.267303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.839758607544144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68060810} λ = 0.68060810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839758607544144))-π/2
    2×atan(0.431814747671516)-π/2
    2×0.407628611023036-π/2
    0.815257222046073-1.57079632675     		φ = -0.75553910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68060810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.995972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75553910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.289202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79734 KachelY 83054 0.68060810 -0.75553910 38.995972 -43.289202
    Oben rechts KachelX + 1 79735 KachelY 83054 0.68065604 -0.75553910 38.998718 -43.289202
    Unten links KachelX 79734 KachelY + 1 83055 0.68060810 -0.75557400 38.995972 -43.291201
    Unten rechts KachelX + 1 79735 KachelY + 1 83055 0.68065604 -0.75557400 38.998718 -43.291201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75553910--0.75557400) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dl = 222.347899999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75553910--0.75557400) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dr = 222.347899999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68060810-0.68065604) × cos(-0.75553910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727901998250966 × 6371000     		do = 222.320006463134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68060810-0.68065604) × cos(-0.75557400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727878067534484 × 6371000     		du = 222.312697406344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75553910)-sin(-0.75557400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727901998250966-0.727878067534484)×R²
    abs(0.68065604-0.68060810)×2.39307164815461e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39307164815461e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39307164815461e-05×40589641000000     		ar = 49431.5739933221m²