Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79733 / 83099
↖ ↑ ↗
← S 43.379101°
E 38.993225°		 ← 221.99 m → S 43.379101°
E 38.995972°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
S 43.381098°
E 38.993225°		 ← 221.98 m →
49 288 m²		 S 43.381098°
E 38.995972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608318328857422 y=0.633998870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608318328857422 × 217)
    floor (0.608318328857422 × 131072)
    floor (79733.5)     		tx = 79733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633998870849609 × 217)
    floor (0.633998870849609 × 131072)
    floor (83099.5)     		ty = 83099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79733 / 83099 ti = "17/79733/83099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79733/83099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79733 ÷ 217
    79733 ÷ 131072     		x = 0.608314514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83099 ÷ 217
    83099 ÷ 131072     		y = 0.633995056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608314514160156 × 2 - 1) × π
    0.216629028320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.68056016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633995056152344 × 2 - 1) × π
    -0.267990112304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.841915768027046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68056016} λ = 0.68056016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841915768027046))-π/2
    2×atan(0.430884257930578)-π/2
    2×0.406844090980162-π/2
    0.813688181960323-1.57079632675     		φ = -0.75710814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68056016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.993225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75710814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.379101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79733 KachelY 83099 0.68056016 -0.75710814 38.993225 -43.379101
    Oben rechts KachelX + 1 79734 KachelY 83099 0.68060810 -0.75710814 38.995972 -43.379101
    Unten links KachelX 79733 KachelY + 1 83100 0.68056016 -0.75714299 38.993225 -43.381098
    Unten rechts KachelX + 1 79734 KachelY + 1 83100 0.68060810 -0.75714299 38.995972 -43.381098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75710814--0.75714299) × R
    3.48499999999197e-05 × 6371000     		dl = 222.029349999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75710814--0.75714299) × R
    3.48499999999197e-05 × 6371000     		dr = 222.029349999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68056016-0.68060810) × cos(-0.75710814) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72682524148748 × 6371000     		do = 221.991137232361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68056016-0.68060810) × cos(-0.75714299) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72680130528397 × 6371000     		du = 221.983826499691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75710814)-sin(-0.75714299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72682524148748-0.72680130528397)×R²
    abs(0.68060810-0.68056016)×2.39362035097113e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39362035097113e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39362035097113e-05×40589641000000     		ar = 49287.7363118203m²