Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79731 / 83100
↖ ↑ ↗
← S 43.381098°
E 38.987732°		 ← 221.98 m → S 43.381098°
E 38.990479°		 →
↑
221.97 m
↓
↑
221.97 m
↓
S 43.383094°
E 38.987732°		 ← 221.98 m →
49 272 m²		 S 43.383094°
E 38.990479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608303070068359 y=0.634006500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608303070068359 × 217)
    floor (0.608303070068359 × 131072)
    floor (79731.5)     		tx = 79731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634006500244141 × 217)
    floor (0.634006500244141 × 131072)
    floor (83100.5)     		ty = 83100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79731 / 83100 ti = "17/79731/83100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79731/83100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79731 ÷ 217
    79731 ÷ 131072     		x = 0.608299255371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83100 ÷ 217
    83100 ÷ 131072     		y = 0.634002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608299255371094 × 2 - 1) × π
    0.216598510742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.68046429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.26800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.841963704926666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68046429} λ = 0.68046429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841963704926666))-π/2
    2×atan(0.430863603170224)-π/2
    2×0.406826670392704-π/2
    0.813653340785408-1.57079632675     		φ = -0.75714299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68046429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.987732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75714299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.381098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79731 KachelY 83100 0.68046429 -0.75714299 38.987732 -43.381098
    Oben rechts KachelX + 1 79732 KachelY 83100 0.68051223 -0.75714299 38.990479 -43.381098
    Unten links KachelX 79731 KachelY + 1 83101 0.68046429 -0.75717783 38.987732 -43.383094
    Unten rechts KachelX + 1 79732 KachelY + 1 83101 0.68051223 -0.75717783 38.990479 -43.383094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75714299--0.75717783) × R
    3.48400000000915e-05 × 6371000     		dl = 221.965640000583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75714299--0.75717783) × R
    3.48400000000915e-05 × 6371000     		dr = 221.965640000583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68046429-0.68051223) × cos(-0.75714299) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72680130528397 × 6371000     		do = 221.983826499691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68046429-0.68051223) × cos(-0.75717783) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.726777375066475 × 6371000     		du = 221.976517595304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75714299)-sin(-0.75717783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72680130528397-0.726777375066475)×R²
    abs(0.68051223-0.68046429)×2.39302174953604e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39302174953604e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39302174953604e-05×40589641000000     		ar = 49271.9709608471m²