Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79730 / 83086
↖ ↑ ↗
← S 43.353144°
E 38.984985°		 ← 222.09 m → S 43.353144°
E 38.987732°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
S 43.355141°
E 38.984985°		 ← 222.08 m →
49 309 m²		 S 43.355141°
E 38.987732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608295440673828 y=0.633899688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608295440673828 × 217)
    floor (0.608295440673828 × 131072)
    floor (79730.5)     		tx = 79730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633899688720703 × 217)
    floor (0.633899688720703 × 131072)
    floor (83086.5)     		ty = 83086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79730 / 83086 ti = "17/79730/83086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79730/83086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79730 ÷ 217
    79730 ÷ 131072     		x = 0.608291625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83086 ÷ 217
    83086 ÷ 131072     		y = 0.633895874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608291625976562 × 2 - 1) × π
    0.216583251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68041635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633895874023438 × 2 - 1) × π
    -0.267791748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.841292588331986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68041635} λ = 0.68041635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841292588331986))-π/2
    2×atan(0.431152859936007)-π/2
    2×0.407070610810906-π/2
    0.814141221621812-1.57079632675     		φ = -0.75665511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68041635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.984985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75665511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.353144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79730 KachelY 83086 0.68041635 -0.75665511 38.984985 -43.353144
    Oben rechts KachelX + 1 79731 KachelY 83086 0.68046429 -0.75665511 38.987732 -43.353144
    Unten links KachelX 79730 KachelY + 1 83087 0.68041635 -0.75668996 38.984985 -43.355141
    Unten rechts KachelX + 1 79731 KachelY + 1 83087 0.68046429 -0.75668996 38.987732 -43.355141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75665511--0.75668996) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dl = 222.029350000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75665511--0.75668996) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dr = 222.029350000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68041635-0.68046429) × cos(-0.75665511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727136318062814 × 6371000     		do = 222.086148025065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68041635-0.68046429) × cos(-0.75668996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727112393336758 × 6371000     		du = 222.078840797905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75665511)-sin(-0.75668996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727136318062814-0.727112393336758)×R²
    abs(0.68046429-0.68041635)×2.39247260565012e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39247260565012e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39247260565012e-05×40589641000000     		ar = 49308.8318856384m²