Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79729 / 83096
↖ ↑ ↗
← S 43.373112°
E 38.982239°		 ← 221.97 m → S 43.373112°
E 38.984985°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
S 43.375109°
E 38.982239°		 ← 221.96 m →
49 282 m²		 S 43.375109°
E 38.984985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608287811279297 y=0.633975982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608287811279297 × 217)
    floor (0.608287811279297 × 131072)
    floor (79729.5)     		tx = 79729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633975982666016 × 217)
    floor (0.633975982666016 × 131072)
    floor (83096.5)     		ty = 83096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79729 / 83096 ti = "17/79729/83096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79729/83096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79729 ÷ 217
    79729 ÷ 131072     		x = 0.608283996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83096 ÷ 217
    83096 ÷ 131072     		y = 0.63397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608283996582031 × 2 - 1) × π
    0.216567993164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.68036842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63397216796875 × 2 - 1) × π
    -0.2679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.841771957328186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68036842} λ = 0.68036842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841771957328186))-π/2
    2×atan(0.430946228152722)-π/2
    2×0.406896356183929-π/2
    0.813792712367858-1.57079632675     		φ = -0.75700361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68036842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.982239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75700361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.373112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79729 KachelY 83096 0.68036842 -0.75700361 38.982239 -43.373112
    Oben rechts KachelX + 1 79730 KachelY 83096 0.68041635 -0.75700361 38.984985 -43.373112
    Unten links KachelX 79729 KachelY + 1 83097 0.68036842 -0.75703846 38.982239 -43.375109
    Unten rechts KachelX + 1 79730 KachelY + 1 83097 0.68041635 -0.75703846 38.984985 -43.375109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75700361--0.75703846) × R
    3.48499999999197e-05 × 6371000     		dl = 222.029349999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75700361--0.75703846) × R
    3.48499999999197e-05 × 6371000     		dr = 222.029349999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68036842-0.68041635) × cos(-0.75700361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.72689703106649 × 6371000     		do = 221.966753007572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68036842-0.68041635) × cos(-0.75703846) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.726873097510798 × 6371000     		du = 221.959444608421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75700361)-sin(-0.75703846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72689703106649-0.726873097510798)×R²
    abs(0.68041635-0.68036842)×2.39335556923015e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39335556923015e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39335556923015e-05×40589641000000     		ar = 49282.3225571624m²