Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79724 / 82988
↖ ↑ ↗
← S 43.157109°
E 38.968506°		 ← 222.80 m → S 43.157109°
E 38.971253°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
S 43.159112°
E 38.968506°		 ← 222.79 m →
49 638 m²		 S 43.159112°
E 38.971253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608249664306641 y=0.633152008056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608249664306641 × 217)
    floor (0.608249664306641 × 131072)
    floor (79724.5)     		tx = 79724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633152008056641 × 217)
    floor (0.633152008056641 × 131072)
    floor (82988.5)     		ty = 82988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79724 / 82988 ti = "17/79724/82988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79724/82988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79724 ÷ 217
    79724 ÷ 131072     		x = 0.608245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82988 ÷ 217
    82988 ÷ 131072     		y = 0.633148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608245849609375 × 2 - 1) × π
    0.21649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68012873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633148193359375 × 2 - 1) × π
    -0.26629638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.83659477216922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68012873} λ = 0.68012873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.83659477216922))-π/2
    2×atan(0.433183101927995)-π/2
    2×0.408781340948075-π/2
    0.817562681896151-1.57079632675     		φ = -0.75323364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68012873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.968506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75323364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.157109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79724 KachelY 82988 0.68012873 -0.75323364 38.968506 -43.157109
    Oben rechts KachelX + 1 79725 KachelY 82988 0.68017667 -0.75323364 38.971253 -43.157109
    Unten links KachelX 79724 KachelY + 1 82989 0.68012873 -0.75326861 38.968506 -43.159112
    Unten rechts KachelX + 1 79725 KachelY + 1 82989 0.68017667 -0.75326861 38.971253 -43.159112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75323364--0.75326861) × R
    3.49699999999675e-05 × 6371000     		dl = 222.793869999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75323364--0.75326861) × R
    3.49699999999675e-05 × 6371000     		dr = 222.793869999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68012873-0.68017667) × cos(-0.75323364) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.729480872932629 × 6371000     		do = 222.802235431664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68012873-0.68017667) × cos(-0.75326861) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72945695296426 × 6371000     		du = 222.794929657624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75323364)-sin(-0.75326861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729480872932629-0.72945695296426)×R²
    abs(0.68017667-0.68012873)×2.3919968369257e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3919968369257e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3919968369257e-05×40589641000000     		ar = 49638.1584406399m²