Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79721 / 82987
↖ ↑ ↗
← S 43.155106°
E 38.960266°		 ← 222.81 m → S 43.155106°
E 38.963013°		 →
↑
222.73 m
↓
↑
222.73 m
↓
S 43.157109°
E 38.960266°		 ← 222.80 m →
49 626 m²		 S 43.157109°
E 38.963013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608226776123047 y=0.633144378662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608226776123047 × 217)
    floor (0.608226776123047 × 131072)
    floor (79721.5)     		tx = 79721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633144378662109 × 217)
    floor (0.633144378662109 × 131072)
    floor (82987.5)     		ty = 82987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79721 / 82987 ti = "17/79721/82987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79721/82987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79721 ÷ 217
    79721 ÷ 131072     		x = 0.608222961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82987 ÷ 217
    82987 ÷ 131072     		y = 0.633140563964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608222961425781 × 2 - 1) × π
    0.216445922851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.67998492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633140563964844 × 2 - 1) × π
    -0.266281127929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.8365468352696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67998492} λ = 0.67998492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8365468352696))-π/2
    2×atan(0.433203867880593)-π/2
    2×0.408798825760334-π/2
    0.817597651520668-1.57079632675     		φ = -0.75319868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67998492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.960266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75319868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.155106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79721 KachelY 82987 0.67998492 -0.75319868 38.960266 -43.155106
    Oben rechts KachelX + 1 79722 KachelY 82987 0.68003286 -0.75319868 38.963013 -43.155106
    Unten links KachelX 79721 KachelY + 1 82988 0.67998492 -0.75323364 38.960266 -43.157109
    Unten rechts KachelX + 1 79722 KachelY + 1 82988 0.68003286 -0.75323364 38.963013 -43.157109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75319868--0.75323364) × R
    3.49600000000283e-05 × 6371000     		dl = 222.73016000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75319868--0.75323364) × R
    3.49600000000283e-05 × 6371000     		dr = 222.73016000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67998492-0.68003286) × cos(-0.75319868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729504785169158 × 6371000     		do = 222.809538843685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67998492-0.68003286) × cos(-0.75323364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729480872932629 × 6371000     		du = 222.802235431148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75319868)-sin(-0.75323364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729504785169158-0.729480872932629)×R²
    abs(0.68003286-0.67998492)×2.3912236529422e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3912236529422e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3912236529422e-05×40589641000000     		ar = 49625.5908959914m²