Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7972 / 5404
↖ ↑ ↗
← N 76.111349°
W 92.416992°		 ← 293.24 m → N 76.111349°
W 92.406006°		 →
↑
293.26 m
↓
↑
293.26 m
↓
N 76.108711°
W 92.416992°		 ← 293.29 m →
86 002 m²		 N 76.108711°
W 92.406006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243301391601562 y=0.164932250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243301391601562 × 215)
    floor (0.243301391601562 × 32768)
    floor (7972.5)     		tx = 7972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164932250976562 × 215)
    floor (0.164932250976562 × 32768)
    floor (5404.5)     		ty = 5404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7972 / 5404 ti = "15/7972/5404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7972/5404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7972 ÷ 215
    7972 ÷ 32768     		x = 0.2432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5404 ÷ 215
    5404 ÷ 32768     		y = 0.1649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.513427734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.61298080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1649169921875 × 2 - 1) × π
    0.670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10538863131287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61298080} λ = -1.61298080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10538863131287))-π/2
    2×atan(8.21029316667057)-π/2
    2×1.44959497761654-π/2
    2.89918995523307-1.57079632675     		φ = 1.32839363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61298080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.416992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32839363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.111349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7972 KachelY 5404 -1.61298080 1.32839363 -92.416992 76.111349
    Oben rechts KachelX + 1 7973 KachelY 5404 -1.61278905 1.32839363 -92.406006 76.111349
    Unten links KachelX 7972 KachelY + 1 5405 -1.61298080 1.32834760 -92.416992 76.108711
    Unten rechts KachelX + 1 7973 KachelY + 1 5405 -1.61278905 1.32834760 -92.406006 76.108711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32839363-1.32834760) × R
    4.60300000000302e-05 × 6371000     		dl = 293.257130000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32839363-1.32834760) × R
    4.60300000000302e-05 × 6371000     		dr = 293.257130000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61298080--1.61278905) × cos(1.32839363) × R
    0.000191750000000157 × 0.240035768697975 × 6371000     		do = 293.237116445608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61298080--1.61278905) × cos(1.32834760) × R
    0.000191750000000157 × 0.24008045271263 × 6371000     		du = 293.291704191758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32839363)-sin(1.32834760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240035768697975-0.24008045271263)×R²
    abs(-1.61278905--1.61298080)×4.46840146551275e-05×R²
    0.000191750000000157×4.46840146551275e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.46840146551275e-05×40589641000000     		ar = 86001.8793161616m²