Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79718 / 83357
↖ ↑ ↗
← S 43.891955°
E 38.952026°		 ← 220.10 m → S 43.891955°
E 38.954773°		 →
↑
220.05 m
↓
↑
220.05 m
↓
S 43.893934°
E 38.952026°		 ← 220.10 m →
48 434 m²		 S 43.893934°
E 38.954773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608203887939453 y=0.635967254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608203887939453 × 217)
    floor (0.608203887939453 × 131072)
    floor (79718.5)     		tx = 79718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635967254638672 × 217)
    floor (0.635967254638672 × 131072)
    floor (83357.5)     		ty = 83357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79718 / 83357 ti = "17/79718/83357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79718/83357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79718 ÷ 217
    79718 ÷ 131072     		x = 0.608200073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83357 ÷ 217
    83357 ÷ 131072     		y = 0.635963439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608200073242188 × 2 - 1) × π
    0.216400146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67984111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635963439941406 × 2 - 1) × π
    -0.271926879882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.854283488129021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67984111} λ = 0.67984111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854283488129021))-π/2
    2×atan(0.425588020731202)-π/2
    2×0.402368600846201-π/2
    0.804737201692402-1.57079632675     		φ = -0.76605913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67984111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.952026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76605913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.891955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79718 KachelY 83357 0.67984111 -0.76605913 38.952026 -43.891955
    Oben rechts KachelX + 1 79719 KachelY 83357 0.67988905 -0.76605913 38.954773 -43.891955
    Unten links KachelX 79718 KachelY + 1 83358 0.67984111 -0.76609367 38.952026 -43.893934
    Unten rechts KachelX + 1 79719 KachelY + 1 83358 0.67988905 -0.76609367 38.954773 -43.893934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76605913--0.76609367) × R
    3.45399999999163e-05 × 6371000     		dl = 220.054339999467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76605913--0.76609367) × R
    3.45399999999163e-05 × 6371000     		dr = 220.054339999467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67984111-0.67988905) × cos(-0.76605913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.720648466254865 × 6371000     		do = 220.104591085613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67984111-0.67988905) × cos(-0.76609367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.720624519220628 × 6371000     		du = 220.09727704496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76605913)-sin(-0.76609367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720648466254865-0.720624519220628)×R²
    abs(0.67988905-0.67984111)×2.39470342373593e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39470342373593e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39470342373593e-05×40589641000000     		ar = 48434.1657837691m²