Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79717 / 82724
↖ ↑ ↗
← S 42.625876°
E 38.949280°		 ← 224.73 m → S 42.625876°
E 38.952026°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
S 42.627897°
E 38.949280°		 ← 224.72 m →
50 497 m²		 S 42.627897°
E 38.952026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608196258544922 y=0.631137847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608196258544922 × 217)
    floor (0.608196258544922 × 131072)
    floor (79717.5)     		tx = 79717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631137847900391 × 217)
    floor (0.631137847900391 × 131072)
    floor (82724.5)     		ty = 82724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79717 / 82724 ti = "17/79717/82724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79717/82724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79717 ÷ 217
    79717 ÷ 131072     		x = 0.608192443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82724 ÷ 217
    82724 ÷ 131072     		y = 0.631134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608192443847656 × 2 - 1) × π
    0.216384887695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.67979317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.26226806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.823939430669525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67979317} λ = 0.67979317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823939430669525))-π/2
    2×atan(0.438700017609613)-π/2
    2×0.413417225500742-π/2
    0.826834451001483-1.57079632675     		φ = -0.74396188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67979317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.949280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74396188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.625876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79717 KachelY 82724 0.67979317 -0.74396188 38.949280 -42.625876
    Oben rechts KachelX + 1 79718 KachelY 82724 0.67984111 -0.74396188 38.952026 -42.625876
    Unten links KachelX 79717 KachelY + 1 82725 0.67979317 -0.74399715 38.949280 -42.627897
    Unten rechts KachelX + 1 79718 KachelY + 1 82725 0.67984111 -0.74399715 38.952026 -42.627897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74396188--0.74399715) × R
    3.52700000000317e-05 × 6371000     		dl = 224.705170000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74396188--0.74399715) × R
    3.52700000000317e-05 × 6371000     		dr = 224.705170000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67979317-0.67984111) × cos(-0.74396188) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.735791322251238 × 6371000     		do = 224.729609084536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67979317-0.67984111) × cos(-0.74399715) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.735767436655587 × 6371000     		du = 224.722313808809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74396188)-sin(-0.74399715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735791322251238-0.735767436655587)×R²
    abs(0.67984111-0.67979317)×2.38855956515849e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38855956515849e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38855956515849e-05×40589641000000     		ar = 50497.0853755891m²