Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79717 / 18717
↖ ↑ ↗
← N 77.898983°
E 38.949280°		 ← 64.03 m → N 77.898983°
E 38.952026°		 →
↑
64.03 m
↓
↑
64.03 m
↓
N 77.898407°
E 38.949280°		 ← 64.03 m →
4 100 m²		 N 77.898407°
E 38.952026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608196258544922 y=0.142803192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608196258544922 × 217)
    floor (0.608196258544922 × 131072)
    floor (79717.5)     		tx = 79717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142803192138672 × 217)
    floor (0.142803192138672 × 131072)
    floor (18717.5)     		ty = 18717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79717 / 18717 ti = "17/79717/18717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79717/18717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79717 ÷ 217
    79717 ÷ 131072     		x = 0.608192443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18717 ÷ 217
    18717 ÷ 131072     		y = 0.142799377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608192443847656 × 2 - 1) × π
    0.216384887695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.67979317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142799377441406 × 2 - 1) × π
    0.714401245117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.24435770331141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67979317} λ = 0.67979317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24435770331141))-π/2
    2×atan(9.43435395569096)-π/2
    2×1.46519502893825-π/2
    2.9303900578765-1.57079632675     		φ = 1.35959373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67979317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.949280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35959373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.898983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79717 KachelY 18717 0.67979317 1.35959373 38.949280 77.898983
    Oben rechts KachelX + 1 79718 KachelY 18717 0.67984111 1.35959373 38.952026 77.898983
    Unten links KachelX 79717 KachelY + 1 18718 0.67979317 1.35958368 38.949280 77.898407
    Unten rechts KachelX + 1 79718 KachelY + 1 18718 0.67984111 1.35958368 38.952026 77.898407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35959373-1.35958368) × R
    1.00499999999837e-05 × 6371000     		dl = 64.028549999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35959373-1.35958368) × R
    1.00499999999837e-05 × 6371000     		dr = 64.028549999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67979317-0.67984111) × cos(1.35959373) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209635925664545 × 6371000     		do = 64.0282077267851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67979317-0.67984111) × cos(1.35958368) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209645752338078 × 6371000     		du = 64.0312090458204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35959373)-sin(1.35958368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209635925664545-0.209645752338078)×R²
    abs(0.67984111-0.67979317)×9.82667353210953e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.82667353210953e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.82667353210953e-06×40589641000000     		ar = 4099.72938498428m²