Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79716 / 83052
↖ ↑ ↗
← S 43.285204°
E 38.946533°		 ← 222.29 m → S 43.285204°
E 38.949280°		 →
↑
222.28 m
↓
↑
222.28 m
↓
S 43.287203°
E 38.946533°		 ← 222.28 m →
49 410 m²		 S 43.287203°
E 38.949280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608188629150391 y=0.633640289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608188629150391 × 217)
    floor (0.608188629150391 × 131072)
    floor (79716.5)     		tx = 79716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633640289306641 × 217)
    floor (0.633640289306641 × 131072)
    floor (83052.5)     		ty = 83052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79716 / 83052 ti = "17/79716/83052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79716/83052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79716 ÷ 217
    79716 ÷ 131072     		x = 0.608184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83052 ÷ 217
    83052 ÷ 131072     		y = 0.633636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608184814453125 × 2 - 1) × π
    0.21636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67974524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.26727294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.839662733744904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67974524} λ = 0.67974524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839662733744904))-π/2
    2×atan(0.431856149376581)-π/2
    2×0.407663505534825-π/2
    0.815327011069651-1.57079632675     		φ = -0.75546932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67974524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.946533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75546932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.285204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79716 KachelY 83052 0.67974524 -0.75546932 38.946533 -43.285204
    Oben rechts KachelX + 1 79717 KachelY 83052 0.67979317 -0.75546932 38.949280 -43.285204
    Unten links KachelX 79716 KachelY + 1 83053 0.67974524 -0.75550421 38.946533 -43.287203
    Unten rechts KachelX + 1 79717 KachelY + 1 83053 0.67979317 -0.75550421 38.949280 -43.287203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75546932--0.75550421) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75546932--0.75550421) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67974524-0.67979317) × cos(-0.75546932) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.727949843311517 × 6371000     		do = 222.288241891408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67974524-0.67979317) × cos(-0.75550421) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.727925921224298 × 6371000     		du = 222.280936994293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75546932)-sin(-0.75550421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727949843311517-0.727925921224298)×R²
    abs(0.67979317-0.67974524)×2.39220872189083e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39220872189083e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39220872189083e-05×40589641000000     		ar = 49410.3499188471m²