Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79712 / 84192
↖ ↑ ↗
← S 45.521744°
E 38.935547°		 ← 213.99 m → S 45.521744°
E 38.938294°		 →
↑
214 m
↓
↑
214 m
↓
S 45.523668°
E 38.935547°		 ← 213.99 m →
45 794 m²		 S 45.523668°
E 38.938294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608158111572266 y=0.642337799072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608158111572266 × 217)
    floor (0.608158111572266 × 131072)
    floor (79712.5)     		tx = 79712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642337799072266 × 217)
    floor (0.642337799072266 × 131072)
    floor (84192.5)     		ty = 84192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79712 / 84192 ti = "17/79712/84192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79712/84192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79712 ÷ 217
    79712 ÷ 131072     		x = 0.608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84192 ÷ 217
    84192 ÷ 131072     		y = 0.642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608154296875 × 2 - 1) × π
    0.21630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67955349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.28466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.894310799311768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67955349} λ = 0.67955349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894310799311768))-π/2
    2×atan(0.408889308345159)-π/2
    2×0.388146007280316-π/2
    0.776292014560633-1.57079632675     		φ = -0.79450431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67955349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.935547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79450431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.521744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79712 KachelY 84192 0.67955349 -0.79450431 38.935547 -45.521744
    Oben rechts KachelX + 1 79713 KachelY 84192 0.67960143 -0.79450431 38.938294 -45.521744
    Unten links KachelX 79712 KachelY + 1 84193 0.67955349 -0.79453790 38.935547 -45.523668
    Unten rechts KachelX + 1 79713 KachelY + 1 84193 0.67960143 -0.79453790 38.938294 -45.523668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79450431--0.79453790) × R
    3.35900000000278e-05 × 6371000     		dl = 214.001890000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79450431--0.79453790) × R
    3.35900000000278e-05 × 6371000     		dr = 214.001890000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67955349-0.67960143) × cos(-0.79450431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700638535043895 × 6371000     		do = 213.993043038157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67955349-0.67960143) × cos(-0.79453790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700614567632994 × 6371000     		du = 213.985722773947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79450431)-sin(-0.79453790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700638535043895-0.700614567632994)×R²
    abs(0.67960143-0.67955349)×2.39674109006049e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39674109006049e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39674109006049e-05×40589641000000     		ar = 45794.1323860731m²