Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7971 / 5403
↖ ↑ ↗
← N 76.113985°
W 92.427979°		 ← 293.18 m → N 76.113985°
W 92.416992°		 →
↑
293.19 m
↓
↑
293.19 m
↓
N 76.111349°
W 92.427979°		 ← 293.24 m →
85 967 m²		 N 76.111349°
W 92.416992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243270874023438 y=0.164901733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243270874023438 × 215)
    floor (0.243270874023438 × 32768)
    floor (7971.5)     		tx = 7971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164901733398438 × 215)
    floor (0.164901733398438 × 32768)
    floor (5403.5)     		ty = 5403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7971 / 5403 ti = "15/7971/5403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7971/5403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7971 ÷ 215
    7971 ÷ 32768     		x = 0.243255615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5403 ÷ 215
    5403 ÷ 32768     		y = 0.164886474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243255615234375 × 2 - 1) × π
    -0.51348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.61317255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164886474609375 × 2 - 1) × π
    0.67022705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10558037891135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61317255} λ = -1.61317255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10558037891135))-π/2
    2×atan(8.21186762161225)-π/2
    2×1.44961798861605-π/2
    2.89923597723211-1.57079632675     		φ = 1.32843965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61317255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.427979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32843965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.113985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7971 KachelY 5403 -1.61317255 1.32843965 -92.427979 76.113985
    Oben rechts KachelX + 1 7972 KachelY 5403 -1.61298080 1.32843965 -92.416992 76.113985
    Unten links KachelX 7971 KachelY + 1 5404 -1.61317255 1.32839363 -92.427979 76.111349
    Unten rechts KachelX + 1 7972 KachelY + 1 5404 -1.61298080 1.32839363 -92.416992 76.111349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32843965-1.32839363) × R
    4.60199999998689e-05 × 6371000     		dl = 293.193419999165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32843965-1.32839363) × R
    4.60199999998689e-05 × 6371000     		dr = 293.193419999165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61317255--1.61298080) × cos(1.32843965) × R
    0.000191749999999935 × 0.239991093882493 × 6371000     		do = 293.182539937189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61317255--1.61298080) × cos(1.32839363) × R
    0.000191749999999935 × 0.240035768697975 × 6371000     		du = 293.237116445269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32843965)-sin(1.32839363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239991093882493-0.240035768697975)×R²
    abs(-1.61298080--1.61317255)×4.46748154824539e-05×R²
    0.000191749999999935×4.46748154824539e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.46748154824539e-05×40589641000000     		ar = 85967.192320147m²