Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7971 / 3425
↖ ↑ ↗
← N 71.739548°
W  4.855957°		 ← 765.57 m → N 71.739548°
W  4.833984°		 →
↑
765.73 m
↓
↑
765.73 m
↓
N 71.732662°
W  4.855957°		 ← 765.85 m →
586 327 m²		 N 71.732662°
W  4.833984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486541748046875 y=0.209075927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486541748046875 × 214)
    floor (0.486541748046875 × 16384)
    floor (7971.5)     		tx = 7971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209075927734375 × 214)
    floor (0.209075927734375 × 16384)
    floor (3425.5)     		ty = 3425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7971 / 3425 ti = "14/7971/3425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7971/3425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7971 ÷ 214
    7971 ÷ 16384     		x = 0.48651123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3425 ÷ 214
    3425 ÷ 16384     		y = 0.20904541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.0269775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08475244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20904541015625 × 2 - 1) × π
    0.5819091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82812160391046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08475244} λ = -0.08475244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82812160391046))-π/2
    2×atan(6.22218794105508)-π/2
    2×1.41144382272982-π/2
    2.82288764545964-1.57079632675     		φ = 1.25209132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08475244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25209132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.739548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7971 KachelY 3425 -0.08475244 1.25209132 -4.855957 71.739548
    Oben rechts KachelX + 1 7972 KachelY 3425 -0.08436894 1.25209132 -4.833984 71.739548
    Unten links KachelX 7971 KachelY + 1 3426 -0.08475244 1.25197113 -4.855957 71.732662
    Unten rechts KachelX + 1 7972 KachelY + 1 3426 -0.08436894 1.25197113 -4.833984 71.732662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25209132-1.25197113) × R
    0.000120189999999853 × 6371000     		dl = 765.730489999066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25209132-1.25197113) × R
    0.000120189999999853 × 6371000     		dr = 765.730489999066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08475244--0.08436894) × cos(1.25209132) × R
    0.000383499999999995 × 0.313337043778047 × 6371000     		do = 765.569662316451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08475244--0.08436894) × cos(1.25197113) × R
    0.000383499999999995 × 0.313451178984603 × 6371000     		du = 765.848526412723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25209132)-sin(1.25197113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313337043778047-0.313451178984603)×R²
    abs(-0.08436894--0.08475244)×0.000114135206556232×R²
    0.000383499999999995×0.000114135206556232×6371000²
    0.000383499999999995×0.000114135206556232×40589641000000     		ar = 586326.800730144m²